Um balão sobe verticalmente a uma taxa de 2 m / s. Uma pessoa está a 30 m do ponto diretamente abaixo dele. Qual é a taxa com que a distância da pessoa ao balão aumenta quando o balão estiver numa altura de 40m? (Resolução em https://youtu.be/N_2V89jeMok)

Passo 1

O enunciado diz que um balão sobe verticalmente com velocidade constante de 2 m/s e que uma pessoa está a 30 m do ponto diretamente abaixo do balão. A gente quer saber a que taxa a distância entre a pessoa e o balão (linha de vista) cresce quando o balão está a 40 m de altura. Para isso vamos usar o Teorema de Pitágoras e derivação implícita.

Passo 2

Definimos: x = 30 m (distância horizontal constante), y(t) a altura do balão e s(t) a distância da pessoa ao balão. Pelo Teorema de Pitágoras temos:
s^2 = x^2 + y^2

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t aplicando derivada implícita:
2sdsdt = 2xdxdt + 2ydydt
Como x é constante, dx/dt = 0, o termo 2x,dx/dt some. Então:
2sdsdt = 2ydydt implies dsdt = ysdydt

Passo 4

No instante pedido temos y = 40 m, dy/dt = 2 m/s e
s = raizx^2 + y^2 = raiz30^2 + 40^2 = 50 m
Substituindo em ds/dt = ysdydt obtemos:
dsdt = 40cdot 250 = 8050 = 16 m/s

Passo 5

Portanto, a distância da pessoa ao balão aumenta a uma taxa de 1{.}6 m/s quando o balão está a 40 m de altura.

Resposta

1{.}6 m/s

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