Um balão sobe verticalmente a uma taxa de
. Uma pessoa está a 30 m do ponto diretamente abaixo dele. Qual é a taxa com que a distância da pessoa ao balão aumenta quando o balão estiver numa altura de 40m? (Resolução em https://youtu.be/N_2V89jeMok)
Passo 1
O enunciado diz que um balão sobe verticalmente com velocidade constante de 2 m/s e que uma pessoa está a 30 m do ponto diretamente abaixo do balão. A gente quer saber a que taxa a distância entre a pessoa e o balão (linha de vista) cresce quando o balão está a 40 m de altura. Para isso vamos usar o Teorema de Pitágoras e derivação implícita.
Passo 2
Definimos: x = 30 m (distância horizontal constante), y(t) a altura do balão e s(t) a distância da pessoa ao balão. Pelo Teorema de Pitágoras temos:
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t aplicando derivada implícita:
Como x é constante,
Passo 4
No instante pedido temos y = 40 m, dy/dt = 2 m/s e
Substituindo em
Passo 5
Portanto, a distância da pessoa ao balão aumenta a uma taxa de 1{.}6 m/s quando o balão está a 40 m de altura.
Resposta
1{.}6 m/s