Escolha apenas uma equação diferencial e apresente sua solução (não esqueça de apresentar qual método foi utilizado).
а) x d yd x+y=2 raizx y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial e mostrar o método usado. A equação que vamos resolver é:
x dydx + y = 2 raizx y
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e possivelmente usar uma substituição para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Vamos dividir os dois lados da equação por x dydx cdot 1raizy + yraizy = 2 raizx y cdot 1raizy para tornar os termos mais manejáveis:
x dydx cdot 1raizy + raizy = 2 raizx
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
u = raizy
Então, x cdot 2u dudx cdot 1u + u = 2 raizx e 2x dudx + u = 2 raizx.
Substituindo na equação, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos uma equação linear na forma de 2x dudx + u = 2 raizx. Vamos reorganizar:
dudx + 12x u = raizxx = 1raizx
Dividindo todos os termos por :
Aqui, e .

Passo 5

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 12x dx = e^12 ln x = x^1/2 = raizx é dado por:
raizx dudx + 12x raizx u = 1raizx cdot raizx
Multiplicamos toda a equação por raizx dudx + 12 uraizx = 1:
ddx ( raizx cdot u ) = 1
Simplificando:
raizx cdot u = integral 1 dx = x + C
Agora, a equação se torna:
u = x + Craizx = raizx + Craizx
Integrando ambos os lados:
raizy = raizx + Craizx
Onde y = ( raizx + Craizx )^2 = x + 2C + C^2x é a constante de integração. Então:
Lembrando que :
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x + 2C + C^2x
onde é uma constante arbitrária.

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