1. Um balão sonda de formato esférico foi projetado para ter um diâmetro de 10 m a uma altitude de 45000 m . Se a pressão e temperatura nesta altitude são respectivamente 2000 \mathrm{Kgf} / \mathrm{m}^{\wedge} 2 (abs) e -60^{\circ} \mathrm{C}, determinar o volume de hidrogênio a 10000 \mathrm{Kgf} / \mathrm{m}^{\wedge} 2 (abs) e 20^{\circ} \mathrm{C} necessário para encher o balão na terra.

Passo 1

O enunciado pede o volume de hidrogênio, nas condições da terra, necessário para encher um balão esférico que a uma altitude de 45000 m tem diâmetro 10 m. Dados fornecidos:
  • Diâmetro do balão na altitude: 10\\ \text{m}.
  • Pressão na altitude (absoluta): P_1 = 2000\\ \text{kgf}/\text{m}^2.
  • Temperatura na altitude: T_1 = -60^\circ\text{C}.
  • Pressão na terra (absoluta): P_2 = 10000\\ \text{kgf}/\text{m}^2.
  • Temperatura na terra: T_2 = 20^\circ\text{C}.
O que se pede:
  • Determinar o volume de hidrogênio nas condições \,P_2=10000\\ \text{kgf}/\text{m}^2 e \,T_2=20^\circ\text{C} que corresponde ao volume do balão na altitude.

Passo 2

Calcular o volume do balão na altitude (é uma esfera). Fórmula do volume da esfera e cálculo do raio:
V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3,\qquad r=\frac{\text{diâmetro}}{2}=\frac{10}{2}=5\\ \text{m}.â
Substituindo:
V_1 = \frac{4}{3}\pi(5)^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot125 = \frac{500}{3}\pi\\ \text{m}^3.
Aproximando numericamente:
V_1 \approx 523,60\\ \text{m}^3.

Passo 3

Explicar a lei dos gases usada: para uma massa fixa de gás (mesma quantidade de hidrogênio), vale a relação combinada (proporcionalidade de pressão, volume e temperatura):
\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}.
Aqui:
  • P_1 e P_2 são as pressões absoluta nas duas condições;
  • V_1 e V_2 são os volumes correspondentes (queremos V_2);
  • T_1 e T_2 são as temperaturas em escala absoluta (Kelvin).
    Importante: temperaturas devem ser convertidas para Kelvin usando T(\text{K})=T(^{\circ}\text{C})+273,15.
Converter temperaturas:
T_1 = -60^\circ\text{C}+273,15 = 213,15\\ \text{K}, \qquad T_2 = 20^\circ\text{C}+273,15 = 293,15\\ \text{K}.
Observação sobre unidades de pressão: como a relação usa razões de pressões (ou mantém mesmas unidades em numerador e denominador), não é preciso converter \text{kgf}/\text{m}^2 para \text{N}/\text{m}^2 — desde que as duas pressões estejam na mesma unidade, elas se cancelam na razão.

Passo 4

Isolar V_2 na relação combinada:
V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1}.
Explicando cada termo: P_1 pressão na altitude, V_1 volume do balão na altitude (calculado), T_2 temperatura na terra em K, P_2 pressão na terra, T_1 temperatura na altitude em K.

Passo 5

Fazer as substituições numéricas passo a passo.
Calcular a razão de pressões:
\frac{P_1}{P_2}=\frac{2000}{10000}=0,2.
Calcular a razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{293,15}{213,15}\approx 1,374999.
Multiplicar as razões para obter o fator multiplicativo:
\frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}=0,2\times1,374999\approx0,2749998\approx0,275.
Agora calcular V_2:
V_2 = V_1\cdot\left(\frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}\right) \approx 523,5988\\ \text{m}^3 \times 0,2749998 \approx 143,90\\ \text{m}^3.
(Arredondamento: mantive duas casas decimais. Se preferir, pode arredondar para 144\\ \text{m}^3.)

Passo 6

Interpretação e observações finais: o resultado representa o volume de hidrogênio, às condições de pressão 10000\\ \text{kgf}/\text{m}^2 e temperatura 20^\circ\text{C}, necessário para que, ao ser lançado e alcançar 45000 m onde a pressão/temperatura são dadas, ocupe o volume esférico de diâmetro 10\\ \text{m}. Usou-se a hipótese de gás ideal e massa constante de hidrogênio.

Resposta

V_2 \approx 143,90\\ \text{m}^3

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