Calcule os seguintes limites
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, mais especificamente, técnicas para resolver limites que envolvem expressões do tipo
. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2. Então, vamos analisar o comportamento de
quando
cresce muito, ou seja, tende a mais infinito.
Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
, temos:
Quando
,
e
tendem a zero. Então, a fração fica próxima de
. Isso nos dá uma forma que parece com
, que é uma pista de que podemos usar logaritmos.
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Isso nos ajuda a transformar a potência em um produto, o que é mais fácil de lidar.
Então, seja:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o logaritmo:
Vamos analisar cada termo separadamente. Usando uma expansão de Taylor ou aproximando para
muito grande:
Subtraindo os dois:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do
:
Passo 6
Agora que temos
, vamos desfazer o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados: