Calcule os seguintes limites
(g) lim x +infty(x^2+1x^2-3)^x^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite limx +infty(x^2+1x^2-3)^x^2. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, mais especificamente, técnicas para resolver limites que envolvem expressões do tipo (1 + algo pequeno)^algo grande. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2. Então, vamos analisar o comportamento de x^2+1x^2-3 quando x cresce muito, ou seja, tende a mais infinito.
Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por x^2, temos:
x^2+1x^2-3 = 1 + 1x^21 - 3x^2
Quando x +infty, 1x^2 e 3x^2 tendem a zero. Então, a fração fica próxima de 1 + 01 - 0 = 1. Isso nos dá uma forma que parece com (1 + algo pequeno)^algo grande, que é uma pista de que podemos usar logaritmos.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Isso nos ajuda a transformar a potência em um produto, o que é mais fácil de lidar.
Então, seja:
L = limx +infty(x^2+1x^2-3)^x^2
Aplicando o logaritmo natural:
ln L = limx +infty x^2 cdot ln(x^2+1x^2-3)

Passo 4

Agora, vamos simplificar o logaritmo:
ln(x^2+1x^2-3) = ln(x^2+1) - ln(x^2-3)
Vamos analisar cada termo separadamente. Usando uma expansão de Taylor ou aproximando para x muito grande:
ln(x^2+1) approx ln(x^2) + 1x^2 = 2ln x + 1x^2
ln(x^2-3) approx ln(x^2) - 3x^2 = 2ln x - 3x^2
Subtraindo os dois:
ln(x^2+1) - ln(x^2-3) approx (2ln x + 1x^2) - (2ln x - 3x^2) = 4x^2

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do ln L:
ln L = limx +infty x^2 cdot 4x^2 = limx +infty 4 = 4

Passo 6

Agora que temos ln L = 4, vamos desfazer o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
L = e^4

Resposta

e^4

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