Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
(f) Se an>0, forall n, e lim n infty an+1an=1, então a série sumn=1^infty an diverge.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a afirmação: “Se os termos de uma série positiva satisfazem limntoinftytfracan+1an=1, então sum an diverge.” O conteúdo envolve o teste da razão para séries e contraexemplos com séries p.

Passo 2

O teste da razão diz que, para uma série de termos positivos, se L=limntoinftytfracan+1an, então
<newline>– se L<1, a série converge;
– se L>1, a série diverge;
– se L=1, o teste é inconclusivo: a série pode convergir ou divergir.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo. Escolhemos an=1/n^2. Então temos:
<newline>– A série sumn=1^inftytfrac1n^2 é convergente (é uma série p com p=2>1).
– A razão dos termos é
<newline> an+1an=1/(n+1)^21/n^2=l(nn+1r)^2to1(ntoinfty)

Passo 4

Como encontramos uma série convergente cujo limite de an+1/an é 1, a afirmação original (que isso implicaria divergência) é falsa.

Resposta

Falso

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