Q2 - Uma partícula realiza um movimento harmônico simples descrito pela equação x= 0,2 \cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi t}{2}\right), no SI. A partir da posição de elongação máxima, determine o menor tempo que a partícula gastará para passar pela posição de equilíbrio.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.\n
Temos a equação do movimento da partícula dada por
x = 0,2 \cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi t}{2}\right)
no SI. As informações relevantes são:\n
  • A amplitude (valor máximo do deslocamento) é \;A=0,2\;\text{m}\n
  • O argumento do cosseno é \;\frac{\pi}{2}+\frac{\pi t}{2}), então a fase inicial é \;\frac{\pi}{2}\n
  • A parte que multiplica t no argumento é \;\omega=\frac{\pi}{2}\;\text{(rad/s)}\n
    O que o enunciado pede:\n
  • “A partir da posição de elongação máxima, determine o menor tempo que a partícula gastará para passar pela posição de equilíbrio.” Ou seja, partindo de um instante em que a partícula está em elongação máxima ( |x|=A), qual o menor intervalo de tempo até ela atingir x=0.

Passo 2

Entendendo o que significa “elongação máxima” e “equilíbrio”.\n
  • “Elongação máxima” significa que o deslocamento tem módulo igual à amplitude, ou seja |x|=A. Para o cosseno isso corresponde a \cos(\text{argument})=\pm1.\n
  • “Posição de equilíbrio” corresponde a x=0, que para o cosseno acontece quando \cos(\text{argument})=0.\n
    Na oscilação harmônica simples, existe uma relação temporal fixa entre estar na extremidade e passar pelo equilíbrio: o tempo entre uma extremidade e o ponto de equilíbrio mais próximo é um quarto do período.

Passo 3

Definindo a velocidade angular \omega e o período T.\n
A forma geral do movimento harmônico simples é \;x(t)=A\cos(\varphi_0+\omega t)\;, onde:\n
  • \;A\; é a amplitude (metros);\n
  • \;\varphi_0\; é a fase inicial (radianos);\n
  • \;\omega\; é a velocidade angular (radianos por segundo).\n
    Comparando com nosso enunciado, identificamos \;\omega=\dfrac{\pi}{2}\;\text{rad/s}.\n
    O período é dado por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega:
T=\frac{2\pi}{\pi/2}=2\pi\cdot\frac{2}{\pi}=4\\ \text{s}.

Passo 4

Relação tempo entre extremidade e equilíbrio (motivação física simples).\n
Visualmente e pela definição do movimento harmônico, uma oscilação completa leva tempo T. Numa oscilação típica com cosseno, a sequência temporal é: extremidade (máx) → equilíbrio → extremidade oposta → equilíbrio → extremidade inicial. Entre extremidade e equilíbrio mais próximo há exatamente um quarto de período. Portanto o tempo procurado é
\Delta t = \frac{T}{4}.

Passo 5

Cálculo numérico do tempo usando \Delta t = T/4.\n
Como acabamos de achar \;T=4\\ \text{s}, temos
\Delta t=\frac{4\\ \text{s}}{4}=1\\ \text{s}.

Passo 6

Verificação algébrica direta (opcional, para entender melhor): resolver instantes.\n
Queremos o menor intervalo positivo entre um instante t_1 em que a partícula está em elongação máxima e um instante t_2>t_1 em que x(t_2)=0.\n
  • Condição de elongação máxima (escolhemos a máxima positiva): \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi t_1}{2}\right)=1. Isso ocorre quando
\frac{\pi}{2}+\frac{\pi t_1}{2}=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Daí
t_1=\frac{2(2\pi k-\pi/2)}{\pi}=4k-1.
O menor t_1\ge 0 ocorre para k=1, dando t_1=3\\ \text{s} (mas a escolha do k só fixa um dos instantes de máxima; podemos tomar qualquer máximo).\n
  • Condição de equilíbrio: \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi t_2}{2}\right)=0. Isso ocorre quando
\frac{\pi}{2}+\frac{\pi t_2}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Daí
t_2=\frac{2\pi n}{\pi}=2n.
Escolhendo n=2 t_2=4\\ \text{s}, que é o equilíbrio após o máximo em t_1=3\\ \text{s}. A diferença é t_2-t_1=1\\ \text{s}.\n
Se tivéssemos escolhido outro máximo (por exemplo máximo anterior), a diferença mínima positiva entre um máximo e o equilíbrio seguinte ainda seria 1\\ \text{s}. Isso confirma \Delta t=1\\ \text{s}.

Resposta

1\\ \text{s}

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