Q2 - Uma partícula realiza um movimento harmônico simples descrito pela equação
, no SI. A partir da posição de elongação máxima, determine o menor tempo que a partícula gastará para passar pela posição de equilíbrio.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.\n
Temos a equação do movimento da partícula dada por
Temos a equação do movimento da partícula dada por
no SI. As informações relevantes são:\n
- A amplitude (valor máximo do deslocamento) é
\n - O argumento do cosseno é
), então a fase inicial é \n - A parte que multiplica
no argumento é \n
O que o enunciado pede:\n - “A partir da posição de elongação máxima, determine o menor tempo que a partícula gastará para passar pela posição de equilíbrio.” Ou seja, partindo de um instante em que a partícula está em elongação máxima (
), qual o menor intervalo de tempo até ela atingir .
Passo 2
Entendendo o que significa “elongação máxima” e “equilíbrio”.\n
- “Elongação máxima” significa que o deslocamento tem módulo igual à amplitude, ou seja
. Para o cosseno isso corresponde a .\n - “Posição de equilíbrio” corresponde a
, que para o cosseno acontece quando .\n
Na oscilação harmônica simples, existe uma relação temporal fixa entre estar na extremidade e passar pelo equilíbrio: o tempo entre uma extremidade e o ponto de equilíbrio mais próximo é um quarto do período.
Passo 3
Definindo a velocidade angular
e o período
.\n
A forma geral do movimento harmônico simples é , onde:\n
A forma geral do movimento harmônico simples é
-
é a amplitude (metros);\n -
é a fase inicial (radianos);\n -
é a velocidade angular (radianos por segundo).\n
Comparando com nosso enunciado, identificamos.\n
O período é dado por
Substituindo
:
Passo 4
Relação tempo entre extremidade e equilíbrio (motivação física simples).\n
Visualmente e pela definição do movimento harmônico, uma oscilação completa leva tempo . Numa oscilação típica com cosseno, a sequência temporal é: extremidade (máx) → equilíbrio → extremidade oposta → equilíbrio → extremidade inicial. Entre extremidade e equilíbrio mais próximo há exatamente um quarto de período. Portanto o tempo procurado é
Visualmente e pela definição do movimento harmônico, uma oscilação completa leva tempo
Passo 5
Cálculo numérico do tempo usando
.\n
Como acabamos de achar , temos
Como acabamos de achar
Passo 6
Verificação algébrica direta (opcional, para entender melhor): resolver instantes.\n
Queremos o menor intervalo positivo entre um instante em que a partícula está em elongação máxima e um instante
em que
.\n
Queremos o menor intervalo positivo entre um instante
- Condição de elongação máxima (escolhemos a máxima positiva):
. Isso ocorre quando
Daí
O menor
ocorre para
, dando
(mas a escolha do
só fixa um dos instantes de máxima; podemos tomar qualquer máximo).\n
- Condição de equilíbrio:
. Isso ocorre quando
Daí
Escolhendo
dá
, que é o equilíbrio após o máximo em
. A diferença é
.\n
Se tivéssemos escolhido outro máximo (por exemplo máximo anterior), a diferença mínima positiva entre um máximo e o equilíbrio seguinte ainda seria . Isso confirma
.
Se tivéssemos escolhido outro máximo (por exemplo máximo anterior), a diferença mínima positiva entre um máximo e o equilíbrio seguinte ainda seria