Q6 - Considere um bloco de massa m=0,40 \mathrm{~kg} preso à extremidade de uma mola ideal horizontal. A extremidade esquerda da mola está fixa e o movimento ocorre sobre uma superfície sem atrito. Sabese que, quando o bloco é puxado para a direita de 0,050 \mathrm{~m}, a força elástica medida é de 4,0 \mathrm{~N}.
A força elástica exercida pela mola é dada por
F=-k x,
em que k é a constante elástica e x é o deslocamento em relação ao equilíbrio.
A partir dessas informações, responda:
(a) Determine a constante elástica k da mola.
(b) Usando a segunda lei de Newton, escreva a equação diferencial do movimento do bloco.
(c) Compare sua equação com a forma padrão do MHS
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x=0

Passo 1

O enunciado dá um bloco preso a uma mola ideal horizontal sem atrito. As perguntas são: (a) achar a constante elástica k; (b) escrever a equação diferencial do movimento usando a 2ª lei de Newton; (c) comparar essa equação com a forma padrão do MHS \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x=0.\n
Informações relevantes fornecidas:
m=0{,}40\\ \mathrm{kg},
\text{o bloco é puxado para a direita de }x=0{,}050\\ \mathrm{m},é
\text{força elástica medida nesse deslocamento }F=4{,}0\\ \mathrm{N}.çá
A força elástica é dada por \displaystyle F=-k x (sinal negativo porque a mola puxa para o lado oposto ao deslocamento).

Passo 2

Determinar k a partir de Hooke. Vou explicar essa lei: a lei de Hooke diz que a força elástica que a mola exerce é proporcional ao deslocamento x em relação à posição de equilíbrio; a constante de proporcionalidade é k. Em fórmula:
F=-k x,
onde F é a força da mola (em newtons, \mathrm{N}), k é a constante elástica (em \mathrm{N/m}) e x é o deslocamento (em metros, \mathrm{m}). Aqui usamos o valor da intensidade da força (módulo) para achar k, porque sabemos o módulo de F quando x é positivo. Assim:
k=\frac{|F|}{|x|}.
Substituindo os números dados:
k=\frac{4{,}0}{0{,}050}\\ \mathrm{N/m}.
Faço a divisão passo a passo: 0{,}050=5\times10^{-2}. Então
k=\frac{4{,}0}{5\times10^{-2}}=4{,}0\cdot\frac{1}{5\times10^{-2}}=4{,}0\cdot\frac{100}{5}=4{,}0\cdot20=80.
Portanto
k=80\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Escrever a equação diferencial pelo método das forças (2ª lei de Newton). Vou explicar a 2ª lei: ela diz que a soma das forças aplicadas num corpo é igual à massa vezes a aceleração do centro de massa. Em fórmula:
\sum F = m a,
onde a é a aceleração, isto é, a derivada segunda do deslocamento: a=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}. No nosso problema, sobre a superfície sem atrito a única força horizontal que age é a força da mola \;F_{\text{mola}}=-k x\;. Então:
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k x.
Essa é a equação diferencial do movimento antes de rearranjar. Note que o sinal negativo indica que a força está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio (faz o movimento voltar para o centro).

Passo 4

Rearranjo da equação diferencial para a forma padrão do MHS. Divido ambos os lados por m:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m}\,x = 0.
Compare com a forma padrão do MHS:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2} x = 0.
Dessa comparação identificamos que
\omega^{2}=\frac{k}{m},
ou seja
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega é a frequência angular do movimento harmônico simples; suas unidades são rad/s e ela determina a rapidez das oscilações. A solução geral da equação é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude e \varphi a fase inicial — isso é o que normalmente você usa na prova se pedirem a solução temporal.

Passo 5

Calcular numericamente \omega usando os valores que encontrei. Substituo k=80\\ \mathrm{N/m} e m=0{,}40\\ \mathrm{kg}:
\omega=\sqrt{\frac{80}{0{,}40}}=\sqrt{200}.
Faço a simplificação: 200=100\cdot2, então \sqrt{200}=10\sqrt{2}. Aproximando \sqrt{2}\approx1{,}414, obtemos
\omega\approx 10\cdot1{,}414=14{,}14\\ \mathrm{rad/s}.
Se quiser relacionar com o período T das oscilações, lembre que T=\dfrac{2\pi}{\omega}, mas isso não foi pedido — deixo aqui só como dica rápida.

Passo 6

Resumo do raciocínio para a prova (dica prática): 1) use Hooke para achar k quando der F e x; 2) aplique m\ddot{x}=\sum F (atenção aos sinais); 3) coloque na forma \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0 e identifique \omega^2=k/m. Se fizer esses passos de forma organizada, a questão sai rapidinho.

Resposta

(a) k=80\\ \mathrm{N/m}\n
(b) \displaystyle m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-k x, ou equivalentemente \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=0\n
(c) Comparando com \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega^{2}x=0 temos \displaystyle \omega^{2}=\frac{k}{m} e numericamente \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{80}{0{,}40}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx14{,}14\\ \mathrm{rad/s}

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