Q6 - Considere um bloco de massa
preso à extremidade de uma mola ideal horizontal. A extremidade esquerda da mola está fixa e o movimento ocorre sobre uma superfície sem atrito. Sabese que, quando o bloco é puxado para a direita de
, a força elástica medida é de
.
A força elástica exercida pela mola é dada por
em que
é a constante elástica e
é o deslocamento em relação ao equilíbrio.
A partir dessas informações, responda:
(a) Determine a constante elástica
da mola.
(b) Usando a segunda lei de Newton, escreva a equação diferencial do movimento do bloco.
(c) Compare sua equação com a forma padrão do MHS
A força elástica exercida pela mola é dada por
A partir dessas informações, responda:
(a) Determine a constante elástica
(b) Usando a segunda lei de Newton, escreva a equação diferencial do movimento do bloco.
(c) Compare sua equação com a forma padrão do MHS
Passo 1
O enunciado dá um bloco preso a uma mola ideal horizontal sem atrito. As perguntas são: (a) achar a constante elástica
; (b) escrever a equação diferencial do movimento usando a 2ª lei de Newton; (c) comparar essa equação com a forma padrão do MHS
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A força elástica é dada por
(sinal negativo porque a mola puxa para o lado oposto ao deslocamento).
Passo 2
Determinar
a partir de Hooke. Vou explicar essa lei: a lei de Hooke diz que a força elástica que a mola exerce é proporcional ao deslocamento
em relação à posição de equilíbrio; a constante de proporcionalidade é
. Em fórmula:
onde
é a força da mola (em newtons,
),
é a constante elástica (em
) e
é o deslocamento (em metros,
). Aqui usamos o valor da intensidade da força (módulo) para achar
, porque sabemos o módulo de
quando
é positivo. Assim:
Substituindo os números dados:
Faço a divisão passo a passo:
. Então
Portanto
Passo 3
Escrever a equação diferencial pelo método das forças (2ª lei de Newton). Vou explicar a 2ª lei: ela diz que a soma das forças aplicadas num corpo é igual à massa vezes a aceleração do centro de massa. Em fórmula:
onde
é a aceleração, isto é, a derivada segunda do deslocamento:
. No nosso problema, sobre a superfície sem atrito a única força horizontal que age é a força da mola
Então:
Essa é a equação diferencial do movimento antes de rearranjar. Note que o sinal negativo indica que a força está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio (faz o movimento voltar para o centro).
Passo 4
Rearranjo da equação diferencial para a forma padrão do MHS. Divido ambos os lados por
:
Compare com a forma padrão do MHS:
Dessa comparação identificamos que
ou seja
Aqui
é a frequência angular do movimento harmônico simples; suas unidades são rad/s e ela determina a rapidez das oscilações. A solução geral da equação é
onde
é a amplitude e
a fase inicial — isso é o que normalmente você usa na prova se pedirem a solução temporal.
Passo 5
Calcular numericamente
usando os valores que encontrei. Substituo
e
:
Faço a simplificação:
, então
. Aproximando
, obtemos
Se quiser relacionar com o período
das oscilações, lembre que
, mas isso não foi pedido — deixo aqui só como dica rápida.
Passo 6
Resumo do raciocínio para a prova (dica prática): 1) use Hooke para achar
quando der
e
; 2) aplique
(atenção aos sinais); 3) coloque na forma
e identifique
. Se fizer esses passos de forma organizada, a questão sai rapidinho.
Resposta
(a)
\n
(b) , ou equivalentemente
\n
(c) Comparando com temos
e numericamente
(b)
(c) Comparando com