Os balões são geralmente cheios com gás hélio devido à sua baixa densidade ( 1 / 7 em comparação ao ar sob mesmas condições de pressão e temperatura). Se o balão possuir um diâmetro de 12 m e transportar duas pessoas de 70 kg cada em um dia que a temperatura seja de 30^circ C(rho=1,16 kg / m^3), determine a aceleração do balão ao ser desamarrado desprezando o peso dos cabos e do cesto. ( R: a=2 5 , 7 m / s^2 )

Passo 1

O enunciado descreve um balão esférico com diâmetro de 12,m cheio de hélio (densidade igual a um sétimo da densidade do ar). Ele transporta duas pessoas de 70,kg cada, num dia em que a densidade do ar é rhoar=1,16,kg/m³. Queremos a aceleração inicial a ao soltar o balão, desprezando cabos e cesto. O conteúdo envolvido é o empuxo de Arquimedes e a segunda lei de Newton.

Passo 2

Calculamos o volume do balão, que é uma esfera de raio r=6,m:
V = 43pi r^3 = 43pi,(6)^3 = 288pi m^3approx 904,78 m^3

Passo 3

A densidade do hélio é
rhoHe = rhoar7 = 1,167approx 0,1657 kg/m^3
A massa de ar deslocado é
mar = rhoar,V approx 1,16 times 904,78 approx 1049,5 kg,
a massa de hélio dentro do balão é
mHe = rhoHe,V approx 0,1657 times 904,78 approx 149,9 kg,
e a massa total das pessoas é
mp = 2times 70 = 140 kg

Passo 4

O empuxo de Arquimedes vale
Femp = rhoar,V,g,
e o peso total é
P = (mHe + mp),g
Logo, a força resultante para cima é
Fres = Femp - P = l(rhoar - rhoHer)V,g ;-; mp,g

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton ,Fres = mtot,a, onde
mtot = mHe + mp,
temos
a = Fresmtot = l(rhoar - rhoHer)V,g - mp,gmHe + mp
Substituindo valores numéricos ( g=9,8,m/s²) resulta em
a approx (1,16 - 0,1657)times 904,78 times 9,8 ;-; 140 times 9,8149,9 + 140 approx 25,7 m/s^2

Resposta

A aceleração inicial do balão é aproximadamente 25,7,m/s².

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