In each of Problems 15 and 16 find the value of b for which the given equation is exact, and then solve it using that value of b.
(x y^2+b x^2 y) d x+(x+y) x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(xy^2+b,x^2yr),dx + l(x+yr)x^2,dy = 0
e pede (1) o valor de b que faz a forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
ser exata e (2) a solução geral quando b vale esse valor. O conteúdo usado será o teste de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x e, em seguida, a construção de uma função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x y^2 + b,x^2y, N(x,y) = x^3 + x^2y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2x y + b,x^2, partial Npartial x = 3x^2 + 2x y
Para exatidão devemos ter
2x y + b,x^2 = 3x^2 + 2x y Longrightarrow b,x^2 = 3x^2 Longrightarrow b = 3

Passo 3

Com b=3, a equação exata é
l(xy^2+3x^2yr),dx + l(x^3+x^2yr),dy = 0
Procuramos Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = xy^2+3x^2y
Integramos em x:
Phi(x,y) = integrall(xy^2+3x^2yr),dx = x^2y^22 + x^3y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), igualamos
partial Phipartial y = x^2y + x^3 + h'(y)
com N(x,y)=x^3+x^2y. Logo
x^2y + x^3 + h'(y) = x^3 + x^2y Longrightarrow h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=constante

Resposta

O valor de b que torna a equação exata é
b = 3,
e a solução implícita geral é
x^2y^22 + x^3y = C,
com C constante de integração.

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