Seja f uma função real de uma variável que satisfaz a seguinte desigualdade
4 x-1x<f(x)<4 x^2+3 xx^2
para todo x>5. Calcule lim x +infty f(x).

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função real f(x) definida para x>5 tal que, para todo x>5,
4x-1x < f(x) < 4x^2+3xx^2
O conteúdo aqui é o cálculo de limite em infinito usando o Teorema do Confronto (ou Sanduíche).

Passo 2

Vamos simplificar a primeira função limitante e calcular seu limite quando xto+infty. Temos
4x-1x =4 - 1x,
e portanto
limxto+infty4x-1x =4 - limxto+infty1x =4 - 0 =4

Passo 3

Agora simplificamos a segunda função limitante e calculamos seu limite em infinito:
4x^2+3xx^2 =4 + 3x,
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limxto+infty4x^2+3xx^2 =4 + limxto+infty3x =4 + 0 =4

Passo 4

Como para todo x>5 vale
4x-1x < f(x) < 4x^2+3xx^2
e ambos os limites das funções de contorno são iguais a 4, pelo Teorema do Confronto concluímos que
limxto+inftyf(x)=4

Resposta

4

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