Uma balonista amadora quer projetar um balão com um dispositivo capaz de controlar remotamente a temperatura do ar no corpo do balão. A massa total do balão (cesto + corpo) é M , e o volume máximo do corpo (quando totalmente inflado) é V . O balão é solto do solo no instante
, quando a temperatura e pressão do ar externo são
e
, respectivamente. Determine a temperatura mínima a ser ajustada no controle para que o balão comece a subir já inflado. Expresse sua resposta em termos de
, da massa molar do ar
, da constante dos gases ideais R e da aceleração da gravidade g. Considere que no início da subida efeitos de atrito, rarefação e variações de temperatura atmosférica são desprezíveis.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
A condição para que o balão comece a subir é que o empuxo deve superar o peso total da massa de ar + do corpo do cesto + envelope do balão.
Dentro e fora do balão, o gás segue a lei dos gases ideais, de modo que a densidade pode ser expressa como
- A resposta correta é:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Dentro e fora do balão, o gás segue a lei dos gases ideais, de modo que a densidade pode ser expressa como
- A resposta correta é:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
O que é dado:
- Massa total do balão (cesto + corpo, excluindo o ar dentro):
. - Volume máximo do corpo (quando totalmente inflado):
. - Condições externas iniciais (no solo, instante
): temperatura e pressão . - Massa molar do ar:
. - Constante dos gases ideais:
. - Aceleração da gravidade:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a temperatura mínima (digamos
) que o controle interno do balão deve ajustar ao inflar o envelope para que o balão comece a subir já inflado (isto é, condição de início de subida no instante ).
Informações adicionais fornecidas (úteis para usar):
- Condição de subida (empuxo supera pesos):
, onde é a densidade do ar fora do balão e a densidade do ar dentro do balão. - Relação densidade — lei dos gases ideais:
.
Passo 2
Entendendo fisicamente a condição de subida (aula rápida, com calma).
- Empuxo é a força para cima igual ao peso do fluido deslocado: empuxo
. - Para o balão começar a subir, o empuxo deve ser maior do que o peso total que puxa para baixo. Esse peso total é a soma do peso da estrutura (massa
) e do peso do ar que está dentro do envelope (massa do ar dentro = ). Então a condição é:
- Podemos dividir ambos os lados por
(positivo) e por (o volume inflado, também positivo) quando conveniente, para trabalhar com densidades e massas por volume.
Passo 3
Converter densidades em termos da pressão e temperatura usando o gás ideal (explicando a fórmula).
- Para um gás ideal, o número de mols por volume é
. - A massa por volume (densidade) é
. - Aqui usaremos a pressão externa
como pressão tanto fora quanto dentro do balão no instante inicial (assumimos que o envelope está inflado mas em equilíbrio com a pressão ambiente), então:
onde
é a temperatura do ar dentro do balão que o controle pode ajustar (é essa
que queremos minimizar para obter subida).
Passo 4
Colocar a condição de subida em termos de
e manipular algebricamente (vamos igualar para achar a temperatura limite minima).
- A condição limite (igualdade) para começar a subir é:
- Dividindo por
e substituindo as expressões para e :
- Isolando o termo com
: primeiro multiplico por (para simplificar a escrita):
Passo 5
Continuar a manipulação passo a passo até obter
.
- Subtrair
de ambos os lados:
- Multiplicar ambos os lados por
para isolar :
- Inverter ambos os lados (atenção ao passo: inverter transforma
em ):
Passo 6
Colocar a expressão final numa forma mais legível e interpretar rapidamente.
- Simplificando a fração:
- Essa é a temperatura mínima que deve ser ajustada no interior do balão para que ele comece a subir quando totalmente inflado. Observação física breve: o denominador precisa ser positivo para que
faça sentido físico (isto é, ); essa condição impõe um limite máximo prático para a massa ou um volume mínimo para que seja possível levantar o conjunto apenas aquecendo o ar até uma temperatura finita.