Uma balonista amadora quer projetar um balão com um dispositivo capaz de controlar remotamente a temperatura do ar no corpo do balão. A massa total do balão (cesto + corpo) é M , e o volume máximo do corpo (quando totalmente inflado) é V . O balão é solto do solo no instante \mathrm{t}=0, quando a temperatura e pressão do ar externo são T_{0} e P_{0}, respectivamente. Determine a temperatura mínima a ser ajustada no controle para que o balão comece a subir já inflado. Expresse sua resposta em termos de \mathrm{T}_{0}, \mathrm{P}_{0}, \mathrm{M}, \mathrm{V}, da massa molar do ar \mathrm{M}_{\mathrm{A}}, da constante dos gases ideais R e da aceleração da gravidade g. Considere que no início da subida efeitos de atrito, rarefação e variações de temperatura atmosférica são desprezíveis.
◯ a. \mathrm{T}_{0}\left[1-\mathrm{MR} /\left(\mathrm{P}_{0} \mathrm{M}_{\mathrm{A}} \mathrm{V}\right)\right]
◯ b. \mathrm{P}_{0} \mathrm{M}_{\mathrm{A}} \mathrm{V} /(\mathrm{MR})
◯ c. T_{0} /\left[1+M R T_{0} /\left(P_{0} M_{A} V\right)\right]
◯ d. T_{0} /\left[1-\mathrm{MRT}_{0} /\left(\mathrm{P}_{0} \mathrm{M}_{\mathrm{A}} \mathrm{V}\right)\right]
◯ e. T_{0}\left[1+M R /\left(P_{0} M_{A} V\right)\right]
A condição para que o balão comece a subir é que o empuxo deve superar o peso total da massa de ar + do corpo do cesto + envelope do balão.
\rho \_\mathrm{f} \mathrm{V} \mathrm{g}>\mathrm{M} \mathrm{g}+\rho \_\mathrm{d} \mathrm{V} \mathrm{g}
Dentro e fora do balão, o gás segue a lei dos gases ideais, de modo que a densidade pode ser expressa como
\rho=P M_{A} / R T

  1. A resposta correta é: \mathrm{T}_{0} /\left[1-\mathrm{MRT}_{0} /\left(\mathrm{P}_{0} \mathrm{M}_{\mathrm{A}} \mathrm{V}\right)\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
O que é dado:
  • Massa total do balão (cesto + corpo, excluindo o ar dentro): \mathrm{M}.
  • Volume máximo do corpo (quando totalmente inflado): \mathrm{V}.
  • Condições externas iniciais (no solo, instante t=0): temperatura \mathrm{T}_{0} e pressão \mathrm{P}_{0}.
  • Massa molar do ar: \mathrm{M}_{\mathrm{A}}.
  • Constante dos gases ideais: \mathrm{R}.
  • Aceleração da gravidade: \mathrm{g}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura mínima (digamos \mathrm{T}_{\min}) que o controle interno do balão deve ajustar ao inflar o envelope para que o balão comece a subir já inflado (isto é, condição de início de subida no instante t=0).
Informações adicionais fornecidas (úteis para usar):
  • Condição de subida (empuxo supera pesos): \rho_{\mathrm{f}} \, V \, g > M g + \rho_{\mathrm{d}} \, V \, g, onde \rho_{\mathrm{f}} é a densidade do ar fora do balão e \rho_{\mathrm{d}} a densidade do ar dentro do balão.
  • Relação densidade — lei dos gases ideais: \rho = \dfrac{P \, M_{A}}{R \, T}.

Passo 2

Entendendo fisicamente a condição de subida (aula rápida, com calma).
  • Empuxo é a força para cima igual ao peso do fluido deslocado: empuxo = \rho_{\mathrm{f}} V g.
  • Para o balão começar a subir, o empuxo deve ser maior do que o peso total que puxa para baixo. Esse peso total é a soma do peso da estrutura (massa M) e do peso do ar que está dentro do envelope (massa do ar dentro = \rho_{\mathrm{d}} V). Então a condição é:
\rho_{\mathrm{f}} V g > M g + \rho_{\mathrm{d}} V g.
  • Podemos dividir ambos os lados por g (positivo) e por V (o volume inflado, também positivo) quando conveniente, para trabalhar com densidades e massas por volume.

Passo 3

Converter densidades em termos da pressão e temperatura usando o gás ideal (explicando a fórmula).
  • Para um gás ideal, o número de mols por volume é n/V = \dfrac{P}{R T}.
  • A massa por volume (densidade) é \rho = \dfrac{n}{V} \times M_{A} = \dfrac{P M_{A}}{R T}.
  • Aqui usaremos a pressão externa \mathrm{P}_0 como pressão tanto fora quanto dentro do balão no instante inicial (assumimos que o envelope está inflado mas em equilíbrio com a pressão ambiente), então:
\rho_{\mathrm{f}} = \frac{P_0 M_A}{R T_0}, \qquad \rho_{\mathrm{d}} = \frac{P_0 M_A}{R T},
onde \mathrm{T} é a temperatura do ar dentro do balão que o controle pode ajustar (é essa \mathrm{T} que queremos minimizar para obter subida).

Passo 4

Colocar a condição de subida em termos de \mathrm{T} e manipular algebricamente (vamos igualar para achar a temperatura limite minima).
  • A condição limite (igualdade) para começar a subir é:
\rho_{\mathrm{f}} V g = M g + \rho_{\mathrm{d}} V g.
  • Dividindo por g e substituindo as expressões para \rho_{\mathrm{f}} e \rho_{\mathrm{d}}:
\frac{P_0 M_A}{R T_0} \, V = M + \frac{P_0 M_A}{R T} \, V.
  • Isolando o termo com 1/T: primeiro multiplico por 1/V (para simplificar a escrita):
\frac{P_0 M_A}{R T_0} = \frac{M}{V} + \frac{P_0 M_A}{R T}.

Passo 5

Continuar a manipulação passo a passo até obter \mathrm{T}.
  • Subtrair \dfrac{M}{V} de ambos os lados:
\frac{P_0 M_A}{R T_0} - \frac{M}{V} = \frac{P_0 M_A}{R T}.
  • Multiplicar ambos os lados por \dfrac{R}{P_0 M_A} para isolar 1/T:
\frac{1}{T_0} - \frac{R M}{P_0 M_A V} = \frac{1}{T}.
  • Inverter ambos os lados (atenção ao passo: inverter transforma \dfrac{1}{T} em T):
T = \frac{1}{\dfrac{1}{T_0} - \dfrac{R M}{P_0 M_A V}}.

Passo 6

Colocar a expressão final numa forma mais legível e interpretar rapidamente.
  • Simplificando a fração:
T = \frac{T_0}{\,1 - \dfrac{R M T_0}{P_0 M_A V}\,}.
  • Essa é a temperatura mínima que deve ser ajustada no interior do balão para que ele comece a subir quando totalmente inflado. Observação física breve: o denominador precisa ser positivo para que T faça sentido físico (isto é, \,1 - \dfrac{R M T_0}{P_0 M_A V} > 0); essa condição impõe um limite máximo prático para a massa M ou um volume mínimo V para que seja possível levantar o conjunto apenas aquecendo o ar até uma temperatura finita.

Resposta

\displaystyle \frac{T_0}{\,1 - \dfrac{R M T_0}{P_0 M_A V}\,}

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