Questão 18

Calcule a indutância em um circuito LC que oscila a 120 Hz quando a capacitância é 8,00 \mu \mathrm{~F}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dado: a frequência de oscilação é f=120\\ \mathrm{Hz}.
  • Dado: a capacitância é C=8,00\\ \mu\mathrm{F}.
  • Pedido: calcular a indutância L do circuito LC que oscila com essa frequência e capacitância.

Passo 2

Qual é a relação entre f, L e C num circuito LC ideal?
A frequência de ressonância (frequência natural de oscilação) de um circuito LC sem perdas é dada por
f=\frac{1}{2\pi\sqrt{L C}}.
Explicando essa fórmula de forma simples:
  • f é a frequência em hertz ( \mathrm{Hz});
  • L é a indutância em henry ( \mathrm{H});
  • C é a capacitância em farad ( \mathrm{F});
  • 2\pi aparece porque a frequência circular \omega é relacionada por \omega=2\pi f e a frequência natural é \omega=1/\sqrt{LC}.

Passo 3

Isolar L na fórmula para poder calcular a indutância a partir de f e C. Partindo de
f=\frac{1}{2\pi\sqrt{L C}},
faz-se o passo a passo algébrico:
  1. Inverter ambos os lados:
\frac{1}{f}=2\pi\sqrt{L C}.
  1. Dividir por 2\pi:
\frac{1}{2\pi f}=\sqrt{L C}.
  1. Elevar ao quadrado:
\left(\frac{1}{2\pi f}\right)^{2}=L C.
  1. Finalmente isolar L:
L=\frac{1}{(2\pi f)^{2}C}=\frac{1}{4\pi^{2}f^{2}C}.
Essa é a fórmula que vamos usar numericamente. Aqui ficou claro o significado de cada símbolo: f e C são dados; L é o que queremos.

Passo 4

Preparar os valores numéricos com unidades corretas. Converter C para farads:
C=8,00\\ \mu\mathrm{F}=8,00\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}.
O valor de f já está em hertz: f=120\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular passo a passo numericamente usando a fórmula L=\dfrac{1}{4\pi^{2}f^{2}C}.
  1. Calcular f^{2}:
f^{2}=(120)^{2}=14400.
  1. Calcular 4\pi^{2}f^{2}. Usando \pi^{2}\approx 9,8696044,
4\pi^{2}f^{2}=4\cdot\pi^{2}\cdot 14400=57600\pi^{2}\approx 57600\cdot 9,8696044\approx 568489,2135.
  1. Multiplicar por C:
4\pi^{2}f^{2}C \approx 568489,2135 \times (8,00\times10^{-6}) \approx 4,547913708.
  1. Inverter para obter L:
L=\frac{1}{4,547913708}\approx 0,2198\\ \mathrm{H}.

Passo 6

Escolher arredondamento compatível com os dados. Como C foi dado com três algarismos significativos ( 8,00\\ \mu\mathrm{F}) e f com três algarismos, faz sentido dar L com três algarismos significativos:
L\approx 0,220\\ \mathrm{H}=220\\ \mathrm{mH}.

Resposta

L=0,220\\ \mathrm{H}

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