Considere dois gases ideais, um monoatômico e outro diatômico, de massas molares M e 5 / 3 \mathrm{M} e diâmetros d e 2 d , respectivamente. Analise as afirmações abaixo e indique quais são verdadeiras.
I. Os gases estarão em equilíbrio térmico se forem colocados em recipientes de mesmo volume e mantidos à mesma pressão, independentemente da densidade de gás em cada recipiente.
II. Se os gases estiverem à mesma temperatura, a razão entre a velocidade média das moléculas do gás diatômico e do monoatômico é 1 .
III. Se amostras contendo um mol do gás diatômico e 5 / 3 moles do gás monoatômico forem preparadas à mesma temperatura, a velocidade média das moléculas dos dois gases será igual.
IV. O livre caminho médio das moléculas do gás monoatômico é 4 vezes maior do que o do gás diatômico para as mesmas condições de temperatura e pressão.
V. Se amostras com um mol de cada gás são preparadas à temperatura T, a quantidade de calor necessária para dobrar a temperatura do gás monoatômico por um processo isobárico é igual à quantidade de calor necessária para dobrar a temperatura do gás diatômico por um processo isocórico.
VI. Se amostras de mesma densidade e mesmo volume forem submetidas a um processo isocórico recebendo a mesma quantidade de calor, a razão entre as variações de temperatura do gás diatômico e do monoatômico será igual a 5/2.
◯ a. I, III, IV, V e VI
◯ b. III, IV, V e VI
◯ c. III, IV, V e VI
◯ d. IV e V
◯ e. \mid \mathrm{V}, \mathrm{V} e VI
I. Falso: usando a lei dos gases ideais \mathrm{PV}=\mathrm{nRT}, podemos afirmar que os dois gases apenas estarão em equilíbrio térmico se a quantidade de cada gás for idêntica em cada recipiente.
II. Falso: as velocidades médias rms são calculadas como \sqrt{3 RT / M}. Como as massas moleculares são diferentes, as velocidades médias moleculares são diferentes e a razão é \backslash \operatorname{sqrt}\{3 / 5\}.
III. Falso: as velocidades médias moleculares não dependem do número de mols.
IV. Verdadeira: para as mesmas condições de pressão e temperatura, a razão dos livres caminhos médios I_mono/I_dia escala com o inverso da razão do quadrado dos diâmetros d_dia^2 / d_mono^2 = 4 .
V. Verdadeira: o calor necessário para promover uma variação T de temperatura no gás monoatômico em processo isobárico é \mathrm{Q} 1=\mathrm{n} 1 \mathrm{C}_{\_} \mathrm{P}^{\wedge} mono T , enquanto que a mesma variação de temperatura é alcançada cedendo \mathrm{Q}_{2}=\mathrm{n} 2 \mathrm{C}_{\_} \mathrm{V}^{\wedge} dia T de calor em um processo isocórico. Como \mathrm{C}_{\_} \mathrm{P}^{\wedge} mono =\mathrm{C} \_\mathrm{V}^{\wedge} dia =5 / 2 \mathrm{R} e n1 =\mathrm{n} 2, \mathrm{o} calor é o mesmo.
VI. Falso: a quantidade de calor cedida em um processo isocórico depende da massa \mathrm{QV}=\mathrm{c} \_\mathrm{v} \mathrm{mT}, com cv =\mathrm{Cv} / \mathrm{M}, onde M é a massa molar. Note que neste caso, os cv’s são idênticos. Amostras de mesma densidade e volume têm a mesma massa total, mas números de mol diferentes. A razão entre as variações de temperatura para mesmo calor é 1.
A resposta correta é:
IV eV

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Dois gases ideais: um monoatômico e outro diatômico.
  • Massas molares: gás monoatômico M, gás diatômico M_{\rm dia}=\tfrac{5}{3}M.
  • Diâmetros moleculares: gás monoatômico d, gás diatômico d_{\rm dia}=2d.
    As questões pedem analisar a veracidade das afirmações I a VI listadas no enunciado e indicar quais são verdadeiras.

Passo 2

Análise da afirmação I.
  • Lembrete (lei dos gases ideais): para uma amostra de um gás ideal vale
PV=nRT,
onde P é pressão, V volume, n número de mols, R constante dos gases e T temperatura.
  • Isolando T:
T=\frac{PV}{nR}.
  • Se dois recipientes têm o mesmo P e o mesmo V mas números de mols diferentes n, então as temperaturas serão diferentes (porque T depende de 1/n). A afirmação diz que estarão em equilíbrio térmico independentemente da densidade — isso é falso: a densidade (ou quantidade de matéria) altera n e, portanto, T.
    Conclusão: I é falsa.

Passo 3

Análise da afirmação II.
  • Primeiro, esclarecer o que se usa para “velocidade média” das moléculas. As definições comuns são:
    • velocidade quadrática média (rms): \displaystyle v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M_{\rm mol}}};
    • velocidade média (média do módulo da velocidade): \displaystyle \bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{\rm mol}}}.
      Em qualquer uma dessas definições a dependência com a massa molar é do tipo v\propto 1/\sqrt{M_{\rm mol}}.
  • Se os dois gases estão à mesma temperatura T, a razão entre as velocidades será
\frac{v_{\rm dia}}{v_{\rm mono}}=\sqrt{\frac{M_{\rm mono}}{M_{\rm dia}}} =\sqrt{\frac{M}{\tfrac{5}{3}M}}=\sqrt{\frac{3}{5}}\neq 1.
Portanto a afirmação que a razão é 1 é falsa (a razão é \sqrt{3/5}).
Conclusão: II é falsa.

Passo 4

Análise da afirmação III.
  • A velocidade média de moléculas (seja rms ou média) depende unicamente de T e da massa molar, não do número de mols n.
  • O enunciado propõe amostras com 1 mol de gás diatômico e \tfrac{5}{3} mol do gás monoatômico à mesma temperatura. O número de mols diferente não altera a velocidade média por molécula; a velocidade média por molécula ainda depende só de T e da massa molar. Como as massas molares são diferentes ( M e \tfrac{5}{3}M), as velocidades não são iguais.
    Conclusão: III é falsa.

Passo 5

Análise da afirmação IV.
  • Fórmula do livre caminho médio para esferas duras (teoria cinética):
\lambda=\frac{kT}{\sqrt{2}\,\pi d^2 p},
onde k é a constante de Boltzmann, T a temperatura, d o diâmetro efetivo das moléculas e p a pressão. Para um gás ideal, em mesmas T e p a densidade de número é igual, então \lambda\propto 1/d^2.
  • Como os diâmetros são d e 2d, tem-se
\frac{\lambda_{\rm mono}}{\lambda_{\rm dia}}=\frac{1/d^2}{1/(2d)^2}=\frac{1}{1/4}=4.
Portanto o livre caminho médio do monoatômico é 4 vezes o do diatômico nas mesmas T e p.
Conclusão: IV é verdadeira.

Passo 6

Análise da afirmação V.
  • Capacidades molares (modelos ideais, sem excitação vibracional):
    • gás monoatômico: C_{V,{\rm mono}}=\tfrac{3}{2}R, C_{P,{\rm mono}}=\tfrac{5}{2}R;
    • gás diatômico (translação+rotação): C_{V,{\rm dia}}=\tfrac{5}{2}R, C_{P,{\rm dia}}=\tfrac{7}{2}R.
  • Preparam-se 1 mol de cada gás à temperatura T. Dobrar a temperatura significa \Delta T=T (de T para 2T).
  • Calor necessário para o monoatômico em processo isobárico (1 mol):
Q_{\rm mono}=nC_{P,{\rm mono}}\Delta T=1\cdot\frac{5}{2}R\cdot T=\frac{5}{2}RT.
  • Calor necessário para o diatômico em processo isocórico (1 mol):
Q_{\rm dia}=nC_{V,{\rm dia}}\Delta T=1\cdot\frac{5}{2}R\cdot T=\frac{5}{2}RT.
  • Os dois valores são iguais. Logo a afirmação é correta.
    Conclusão: V é verdadeira.

Passo 7

Análise da afirmação VI.
  • Condição: amostras de mesma densidade e mesmo volume. Aqui “densidade” deve ser entendida como densidade de massa \rho (massa/volume); com mesmo \rho e mesmo V as massas totais m das amostras são iguais.
  • Em processo isocórico, calor recebido Q=m c_v \Delta T, onde c_v é capacidade específica por unidade de massa. Relação entre capacidade molar C_V e específica por massa c_v:
c_v=\frac{C_V}{M_{\rm mol}}.
  • Para mesma Q e mesma massa m,
\Delta T=\frac{Q}{m c_v}=\frac{Q}{m}\cdot\frac{M_{\rm mol}}{C_V}\quad\Rightarrow\quad \Delta T\propto\frac{M_{\rm mol}}{C_V}.
  • Então a razão pedida é
\frac{\Delta T_{\rm dia}}{\Delta T_{\rm mono}} =\frac{\dfrac{M_{\rm dia}}{C_{V,{\rm dia}}}}{\dfrac{M}{C_{V,{\rm mono}}}} =\frac{M_{\rm dia}\,C_{V,{\rm mono}}}{M\,C_{V,{\rm dia}}}.
Substituindo M_{\rm dia}=\tfrac{5}{3}M, C_{V,{\rm mono}}=\tfrac{3}{2}R, C_{V,{\rm dia}}=\tfrac{5}{2}R:
\frac{\Delta T_{\rm dia}}{\Delta T_{\rm mono}} =\frac{\tfrac{5}{3}M\cdot \tfrac{3}{2}R}{M\cdot \tfrac{5}{2}R} =\frac{\tfrac{5}{2}MR}{\tfrac{5}{2}MR}=1.
  • Portanto a razão é 1, não \tfrac{5}{2}. A afirmação VI é falsa.
    Conclusão: VI é falsa.

Resposta

IV e V (opção d)

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