Considere dois gases ideais, um monoatômico e outro diatômico, de massas molares M e
e diâmetros d e 2 d , respectivamente. Analise as afirmações abaixo e indique quais são verdadeiras.
I. Os gases estarão em equilíbrio térmico se forem colocados em recipientes de mesmo volume e mantidos à mesma pressão, independentemente da densidade de gás em cada recipiente.
II. Se os gases estiverem à mesma temperatura, a razão entre a velocidade média das moléculas do gás diatômico e do monoatômico é 1 .
III. Se amostras contendo um mol do gás diatômico e
moles do gás monoatômico forem preparadas à mesma temperatura, a velocidade média das moléculas dos dois gases será igual.
IV. O livre caminho médio das moléculas do gás monoatômico é 4 vezes maior do que o do gás diatômico para as mesmas condições de temperatura e pressão.
V. Se amostras com um mol de cada gás são preparadas à temperatura T, a quantidade de calor necessária para dobrar a temperatura do gás monoatômico por um processo isobárico é igual à quantidade de calor necessária para dobrar a temperatura do gás diatômico por um processo isocórico.
VI. Se amostras de mesma densidade e mesmo volume forem submetidas a um processo isocórico recebendo a mesma quantidade de calor, a razão entre as variações de temperatura do gás diatômico e do monoatômico será igual a 5/2.
◯ a. I, III, IV, V e VI
◯ b. III, IV, V e VI
◯ c. III, IV, V e VI
◯ d. IV e V
◯ e.
e VI
I. Falso: usando a lei dos gases ideais
, podemos afirmar que os dois gases apenas estarão em equilíbrio térmico se a quantidade de cada gás for idêntica em cada recipiente.
II. Falso: as velocidades médias rms são calculadas como \sqrt{3 RT / M}. Como as massas moleculares são diferentes, as velocidades médias moleculares são diferentes e a razão é
.
III. Falso: as velocidades médias moleculares não dependem do número de mols.
IV. Verdadeira: para as mesmas condições de pressão e temperatura, a razão dos livres caminhos médios I_mono/I_dia escala com o inverso da razão do quadrado dos diâmetros d_dia^2 / d_mono^2 = 4 .
V. Verdadeira: o calor necessário para promover uma variação T de temperatura no gás monoatômico em processo isobárico é
mono T , enquanto que a mesma variação de temperatura é alcançada cedendo
dia T de calor em um processo isocórico. Como
mono
dia
e n1
calor é o mesmo.
VI. Falso: a quantidade de calor cedida em um processo isocórico depende da massa
, com cv
, onde M é a massa molar. Note que neste caso, os cv’s são idênticos. Amostras de mesma densidade e volume têm a mesma massa total, mas números de mol diferentes. A razão entre as variações de temperatura para mesmo calor é 1.
A resposta correta é:
IV eV
I. Os gases estarão em equilíbrio térmico se forem colocados em recipientes de mesmo volume e mantidos à mesma pressão, independentemente da densidade de gás em cada recipiente.
II. Se os gases estiverem à mesma temperatura, a razão entre a velocidade média das moléculas do gás diatômico e do monoatômico é 1 .
III. Se amostras contendo um mol do gás diatômico e
IV. O livre caminho médio das moléculas do gás monoatômico é 4 vezes maior do que o do gás diatômico para as mesmas condições de temperatura e pressão.
V. Se amostras com um mol de cada gás são preparadas à temperatura T, a quantidade de calor necessária para dobrar a temperatura do gás monoatômico por um processo isobárico é igual à quantidade de calor necessária para dobrar a temperatura do gás diatômico por um processo isocórico.
VI. Se amostras de mesma densidade e mesmo volume forem submetidas a um processo isocórico recebendo a mesma quantidade de calor, a razão entre as variações de temperatura do gás diatômico e do monoatômico será igual a 5/2.
◯ a. I, III, IV, V e VI
◯ b. III, IV, V e VI
◯ c. III, IV, V e VI
◯ d. IV e V
◯ e.
I. Falso: usando a lei dos gases ideais
II. Falso: as velocidades médias rms são calculadas como \sqrt{3 RT / M}. Como as massas moleculares são diferentes, as velocidades médias moleculares são diferentes e a razão é
III. Falso: as velocidades médias moleculares não dependem do número de mols.
IV. Verdadeira: para as mesmas condições de pressão e temperatura, a razão dos livres caminhos médios I_mono/I_dia escala com o inverso da razão do quadrado dos diâmetros d_dia^2 / d_mono^2 = 4 .
V. Verdadeira: o calor necessário para promover uma variação T de temperatura no gás monoatômico em processo isobárico é
VI. Falso: a quantidade de calor cedida em um processo isocórico depende da massa
IV eV
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Dois gases ideais: um monoatômico e outro diatômico.
- Massas molares: gás monoatômico
, gás diatômico . - Diâmetros moleculares: gás monoatômico
, gás diatômico .
As questões pedem analisar a veracidade das afirmações I a VI listadas no enunciado e indicar quais são verdadeiras.
Passo 2
Análise da afirmação I.
- Lembrete (lei dos gases ideais): para uma amostra de um gás ideal vale
onde
é pressão,
volume,
número de mols,
constante dos gases e
temperatura.
- Isolando
:
- Se dois recipientes têm o mesmo
e o mesmo mas números de mols diferentes , então as temperaturas serão diferentes (porque depende de ). A afirmação diz que estarão em equilíbrio térmico independentemente da densidade — isso é falso: a densidade (ou quantidade de matéria) altera e, portanto, .
Conclusão: I é falsa.
Passo 3
Análise da afirmação II.
- Primeiro, esclarecer o que se usa para “velocidade média” das moléculas. As definições comuns são:
- velocidade quadrática média (rms):
; - velocidade média (média do módulo da velocidade):
.
Em qualquer uma dessas definições a dependência com a massa molar é do tipo.
- velocidade quadrática média (rms):
- Se os dois gases estão à mesma temperatura
, a razão entre as velocidades será
Portanto a afirmação que a razão é
é falsa (a razão é
).
Conclusão: II é falsa.
Conclusão: II é falsa.
Passo 4
Análise da afirmação III.
- A velocidade média de moléculas (seja rms ou média) depende unicamente de
e da massa molar, não do número de mols . - O enunciado propõe amostras com
mol de gás diatômico e mol do gás monoatômico à mesma temperatura. O número de mols diferente não altera a velocidade média por molécula; a velocidade média por molécula ainda depende só de e da massa molar. Como as massas molares são diferentes ( e ), as velocidades não são iguais.
Conclusão: III é falsa.
Passo 5
Análise da afirmação IV.
- Fórmula do livre caminho médio para esferas duras (teoria cinética):
onde
é a constante de Boltzmann,
a temperatura,
o diâmetro efetivo das moléculas e
a pressão. Para um gás ideal, em mesmas
e
a densidade de número é igual, então
.
- Como os diâmetros são
e , tem-se
Portanto o livre caminho médio do monoatômico é 4 vezes o do diatômico nas mesmas
e
.
Conclusão: IV é verdadeira.
Conclusão: IV é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmação V.
- Capacidades molares (modelos ideais, sem excitação vibracional):
- gás monoatômico:
, ; - gás diatômico (translação+rotação):
, .
- gás monoatômico:
- Preparam-se 1 mol de cada gás à temperatura
. Dobrar a temperatura significa (de para ). - Calor necessário para o monoatômico em processo isobárico (1 mol):
- Calor necessário para o diatômico em processo isocórico (1 mol):
- Os dois valores são iguais. Logo a afirmação é correta.
Conclusão: V é verdadeira.
Passo 7
Análise da afirmação VI.
- Condição: amostras de mesma densidade e mesmo volume. Aqui “densidade” deve ser entendida como densidade de massa
(massa/volume); com mesmo e mesmo as massas totais das amostras são iguais. - Em processo isocórico, calor recebido
, onde é capacidade específica por unidade de massa. Relação entre capacidade molar e específica por massa :
- Para mesma
e mesma massa ,
- Então a razão pedida é
Substituindo
,
,
:
- Portanto a razão é
, não . A afirmação VI é falsa.
Conclusão: VI é falsa.
Resposta
IV e V (opção d)