Considere a equação: \tau=k \mu^{a} \rho^{b} v^{c}; sendo \tau=\left[M L^{-1} T^{-2}\right], \mu=\left[M L^{-1} T^{-1}\right] ; \rho=\left[M L^{-3}\right], v=\left[L T^{-1}\right], e k representa uma constante adimensional. Determine \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c} para que a expressão seja dimensionalmente homogênea?

Passo 1

O enunciado dá a relação \tau = k \mu^{a} \rho^{b} v^{c} e fornece as dimensões de cada grandeza:
\tau=\left[M L^{-1} T^{-2}\right],\quad \mu=\left[M L^{-1} T^{-1}\right],\quad \rho=\left[M L^{-3}\right],\quad v=\left[L T^{-1}\right].
Pede-se determinar os expoentes \,a\,,\,b\,,\,c de modo que a equação seja dimensionalmente homogênea (isto é, as dimensões do lado direito coincidam com as de \tau). A constante k é adimensional, então sua dimensão é \left[1\right] e pode ser ignorada na análise dimensional.

Passo 2

Substituímos as dimensões no produto do lado direito e aplicamos as propriedades de expoentes (quando elevamos uma dimensão a uma potência, multiplicamos os expoentes das unidades por essa potência):
\left[M L^{-1} T^{-2}\right] = \left[M L^{-1} T^{-1}\right]^{a} \left[M L^{-3}\right]^{b} \left[L T^{-1}\right]^{c}.
Agora vamos escrever o lado direito agrupando as potências de M, L e T separadamente.

Passo 3

Elevar cada dimensão às potências e somar os expoentes por grandeza dá:
\text{M: } \; M^{\;a} \cdot M^{\;b} = M^{a+b},
\text{L: } \; L^{-a} \cdot L^{-3b} \cdot L^{c} = L^{-a-3b+c},
\text{T: } \; T^{-a} \cdot T^{0\cdot b} \cdot T^{-c} = T^{-a-c}.
Portanto, igualando os expoentes de cada dimensão entre os dois lados, obtemos o sistema linear:
\begin{cases} \text{(M):} & 1 = a + b,\\[4pt] \text{(L):} & -1 = -a - 3b + c,\\[4pt] \text{(T):} & -2 = -a - c. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da equação de M:
1 = a + b \quad\Rightarrow\quad b = 1 - a.
Da equação de T:
-2 = -a - c \quad\Rightarrow\quad -2 + a = -c \quad\Rightarrow\quad c = 2 - a.
Substituímos b e c na equação de L:
-1 = -a - 3b + c.
Substituindo b = 1-a e c = 2-a:
-1 = -a - 3(1-a) + (2-a).
Calculando passo a passo:
-1 = -a -3 + 3a + 2 - a.
Agrupando termos em a e constantes:
-1 = (-a + 3a - a) + (-3 + 2) = (1a) + (-1).
Logo:
-1 = a - 1 \quad\Rightarrow\quad a - 1 = -1 \quad\Rightarrow\quad a = 0.

Passo 5

Com a=0 encontramos os demais expoentes usando as relações anteriores:
b = 1 - a = 1 - 0 = 1,
c = 2 - a = 2 - 0 = 2.
Verificação rápida: substituindo na dimensão do produto
\rho^{1} v^{2} = \left[M L^{-3}\right]\left[L T^{-1}\right]^{2} = M^{1} L^{-3} \cdot L^{2} T^{-2} = M^{1} L^{-1} T^{-2},
que coincide com \tau=\left[M L^{-1} T^{-2}\right]. Está consistente.

Resposta

a=0
b=1
c=2

Exercícios relacionados