Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral da série é
para
. A série é de termos positivos. Vamos trabalhar com essa informação.
Passo 2
Primeiro, lembro o que significa uma série convergir: dada uma série de termos
com
, ela converge se a sequência das somas parciais
tem limite finito quando
. Caso contrário, a série diverge. No nosso caso,
e todos os
são positivos, então podemos usar testes de comparação com séries conhecidas.
Passo 3
Uma série muito importante e conhecida é a série harmônica
que é divergente. Vou mostrar de modo simples por que ela diverge (prova por agrupamento, clássica e intuitiva): escrevemos as somas parciais agrupando termos por potências de 2:
No grupo
cada parcela é pelo menos
, então esse grupo
. No próximo grupo de 4 termos cada parcela é pelo menos
, então o grupo
. Em geral, cada grupo sucessivo soma pelo menos
. Como há infinitos grupos, a soma parcial cresce sem limite — logo a série harmônica diverge.
Passo 4
Agora vou comparar nossa série com a harmônica (ou com uma constante vezes ela). Note que, para todo
,
Isso é verdadeiro porque
(para
temos
). A partir disso obtemos desigualdade entre os termos:
Passo 5
Usamos o teste de comparação direta para séries de termos positivos: se
para todo
e
diverge, então
também diverge. Aqui tomamos
e
. Verificamos que
(ou seja,
) e que
que diverge porque a série harmônica diverge (multiplicar por constante não muda a natureza de divergência). Pela comparação direta, a série
também diverge.
Passo 6
Como verificação alternativa (opcional): fazer o teste da comparação limite. Calcule
Como o limite é um número finito e não nulo,
tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) que
. Como a harmônica diverge, nossa série também diverge. Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 7
Conclusão: a série de termos positivos
não tem soma finita; ela diverge.
Resposta
A série diverge.