Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+5}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+5}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral da série é \frac{1}{n+5} para n=1,2,3,\dots. A série é de termos positivos. Vamos trabalhar com essa informação.

Passo 2

Primeiro, lembro o que significa uma série convergir: dada uma série de termos a_n com a_n\ge0, ela converge se a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Caso contrário, a série diverge. No nosso caso, a_n=\frac{1}{n+5} e todos os a_n são positivos, então podemos usar testes de comparação com séries conhecidas.

Passo 3

Uma série muito importante e conhecida é a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n},
que é divergente. Vou mostrar de modo simples por que ela diverge (prova por agrupamento, clássica e intuitiva): escrevemos as somas parciais agrupando termos por potências de 2:
1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots
No grupo \frac{1}{3}+\frac{1}{4} cada parcela é pelo menos \frac{1}{4}, então esse grupo \ge 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}. No próximo grupo de 4 termos cada parcela é pelo menos \frac{1}{8}, então o grupo \ge 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}. Em geral, cada grupo sucessivo soma pelo menos \tfrac{1}{2}. Como há infinitos grupos, a soma parcial cresce sem limite — logo a série harmônica diverge.

Passo 4

Agora vou comparar nossa série com a harmônica (ou com uma constante vezes ela). Note que, para todo n\ge1,
n+5 \le 6n.
Isso é verdadeiro porque n+5 \le n+5n =6n (para n\ge1 temos 5\le5n). A partir disso obtemos desigualdade entre os termos:
\frac{1}{n+5} \ge \frac{1}{6n}.

Passo 5

Usamos o teste de comparação direta para séries de termos positivos: se 0\le b_n \le a_n para todo n e \sum a_n diverge, então \sum b_n também diverge. Aqui tomamos a_n=\frac{1}{n+5} e b_n=\frac{1}{6n}. Verificamos que b_n \le a_n (ou seja, \frac{1}{6n}\le\frac{1}{n+5}) e que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6n} = \frac{1}{6}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
que diverge porque a série harmônica diverge (multiplicar por constante não muda a natureza de divergência). Pela comparação direta, a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+5} também diverge.

Passo 6

Como verificação alternativa (opcional): fazer o teste da comparação limite. Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+5}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+5}=1.
Como o limite é um número finito e não nulo, \sum \frac{1}{n+5} tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) que \sum\frac{1}{n}. Como a harmônica diverge, nossa série também diverge. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 7

Conclusão: a série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+5} não tem soma finita; ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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