Uma balsa é feita de material com densidade rhob=662 kg / m^3. Um modelo de simplificação para a balsa é um paralelepípedo de altura h=2,1 m e área A. Quando colocada na água do mar, com densidade rho mar =1,03 times 10^3 kg / m^3, a balsa submerge parcialmente.
Determine a área da balsa (em m^2 ) para que, com uma massa extra sobre ela de m=9,3 times 10^4 kg, ela permaneça flutuando com uma altura 32,9 cm acima da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma balsa com densidade $ \rho_b = 662 , \mathrm{kg/m^3} $ e formato de paralelepípedo com altura $ h = 2,1 , \mathrm{m} $ e área $ A $. Quando a balsa é colocada na água do mar, que tem densidade $ \rho_{mar} = 1,03 \times 10^3 , \mathrm{kg/m^3} $, ela afunda parcialmente. O objetivo aqui é encontrar a área $ A $ da balsa para que, ao adicionar uma massa extra de $ m = 9,3 \times 10^4 , \mathrm{kg} $, ela flutue com uma altura de $ 32,9 , \mathrm{cm} $ acima da superfície da água. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre empuxo e densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é empuxo. Empuxo é uma força para cima que a água exerce sobre a balsa, e de acordo com o Princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do volume de água que a balsa desloca. Ou seja:
Empuxo = rhomar times g times V
Onde:
  • $ \rho_{mar} $ é a densidade da água do mar
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (~$ 9,81 , \mathrm{m/s^2} $)
  • $ V $ é o volume de água deslocado

Passo 3

Agora, vamos pensar no volume de água que a balsa desloca quando está flutuando com parte dela acima da água. A altura total da balsa é $ 2,1 , \mathrm{m} $ e ela fica $ 0,329 , \mathrm{m} $ acima da água, então a parte submersa é:
2,1 , m
Então, o volume de água deslocado é a área da base $ A $ vezes a profundidade submersa $ d $:
0,329 , m

Passo 4

Agora, vamos relacionar o empuxo com o peso total da balsa mais a massa extra. O peso total é dado por:
Peso total = (rhob times A times h + m) times g
Para que a balsa flutue em equilíbrio, o empuxo deve ser igual ao peso total:
rhomar times g times A times d = (rhob times A times h + m) times g
Podemos simplificar $ g $ dos dois lados:
g

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a área $ A $. Primeiro, vamos isolar $ A $:
A
Fatorando $ A $:
A
Finalmente, resolvendo para $ A $:
rhomar times A times d - rhob times A times h = m

Passo 6

Agora é hora de colocar os números na fórmula:
A = 9,3 times 10^4 , kg1,03 times 10^3 , kg/m^3 times 1,771 , m - 662 , kg/m^3 times 2,1 , m
Calculando o denominador:
1,03 times 10^3 times 1,771 = 1822,13 , kg/m^2
662 times 2,1 = 1390,2 , kg/m^2
Denominador = 1822,13 - 1390,2 = 431,93 , kg/m^2
Agora, calculando $ A $:
A

Resposta

A área da balsa deve ser aproximadamente 215,1 metros quadrados.

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