Uma balsa é feita de material com densidade
. Um modelo de simplificação para a balsa é um paralelepípedo de altura
e área
. Quando colocada na água do mar, com densidade
, a balsa submerge parcialmente.
Determine a área da balsa (em
) para que, com uma massa extra sobre ela de
, ela permaneça flutuando com uma altura
acima da superfície.
Determine a área da balsa (em
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma balsa com densidade $ \rho_b = 662 , \mathrm{kg/m^3} $ e formato de paralelepípedo com altura $ h = 2,1 , \mathrm{m} $ e área $ A $. Quando a balsa é colocada na água do mar, que tem densidade $ \rho_{mar} = 1,03 \times 10^3 , \mathrm{kg/m^3} $, ela afunda parcialmente. O objetivo aqui é encontrar a área $ A $ da balsa para que, ao adicionar uma massa extra de $ m = 9,3 \times 10^4 , \mathrm{kg} $, ela flutue com uma altura de $ 32,9 , \mathrm{cm} $ acima da superfície da água. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre empuxo e densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é empuxo. Empuxo é uma força para cima que a água exerce sobre a balsa, e de acordo com o Princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do volume de água que a balsa desloca. Ou seja:
Onde:
- $ \rho_{mar} $ é a densidade da água do mar
- $ g $ é a aceleração da gravidade (~$ 9,81 , \mathrm{m/s^2} $)
- $ V $ é o volume de água deslocado
Passo 3
Agora, vamos pensar no volume de água que a balsa desloca quando está flutuando com parte dela acima da água. A altura total da balsa é $ 2,1 , \mathrm{m} $ e ela fica $ 0,329 , \mathrm{m} $ acima da água, então a parte submersa é:
Então, o volume de água deslocado é a área da base $ A $ vezes a profundidade submersa $ d $:
Passo 4
Agora, vamos relacionar o empuxo com o peso total da balsa mais a massa extra. O peso total é dado por:
Para que a balsa flutue em equilíbrio, o empuxo deve ser igual ao peso total:
Podemos simplificar $ g $ dos dois lados:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a área $ A $. Primeiro, vamos isolar $ A $:
Fatorando $ A $:
Finalmente, resolvendo para $ A $:
Passo 6
Agora é hora de colocar os números na fórmula:
Calculando o denominador:
Agora, calculando $ A $:
Resposta
A área da balsa deve ser aproximadamente 215,1 metros quadrados.