Exercício 4 - Um dipolo elétrico consiste em duas cargas +q e -q separadas por uma distância muito pequena 2 a. Seu centro está no eixo x em x=x1 e aponta ao longo do eixo x na direção positiva x. O dipolo está em um campo elétrico não uniforme, que também está na direção x, dado por E=C x x, onde C é uma constante. (a) Encontre a força na carga positiva e na carga negativa e mostre que a força resultante no dipolo é C p x. (b) Mostre que, em geral, se um dipolo de momento p está ao longo do eixo x em um campo elétrico na direção x, a força resultante no dipolo é dada aproximadamente por .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que é composto por duas cargas, uma positiva +q e outra negativa -q, separadas por uma distância pequena de 2a. O centro desse dipolo está no eixo x na posição x = x1 e aponta na direção positiva do eixo x. Esse dipolo está inserido em um campo elétrico não uniforme, também na direção do eixo x, dado por E = Cx, x, onde C é uma constante.
Vamos precisar usar conceitos de força elétrica em dipolos e como essa força atua quando o campo não é uniforme. Basicamente, vamos calcular as forças nas cargas positiva e negativa separadamente e depois ver como elas se combinam para dar a força resultante no dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força sobre cada carga do dipolo. A fórmula para a força elétrica ( F) em uma carga ( q) em um campo elétrico ( E) é:
F = q E
No nosso caso, temos duas cargas:
  • Carga positiva ( +q) localizada em x = x1 + a.
  • Carga negativa ( -q) localizada em x = x1 - a.
Vamos aplicar a fórmula para cada uma delas.

Passo 3

Para a carga positiva +q:
F+ = q cdot E(x+) cdot x = q cdot Cx+ cdot x
Para a carga negativa -q:
F- = (-q) cdot E(x-) cdot x = -q cdot Cx- cdot x
Aqui, x+ = x1 + a e x- = x1 - a. Como a distância 2a é muito pequena, podemos aproximar que x+ approx x1 e x- approx x1. Mas para capturar a variação do campo elétrico, precisamos considerar a diferença entre x+ e x-.

Passo 4

Vamos expandir o campo elétrico E(x) em uma série de Taylor em torno de x = x1:
E(x) = E(x1) + dEdxg|x1 (x - x1) + dots
Como 2a é pequeno, vamos ignorar os termos de ordem superior e considerar apenas o primeiro termo da expansão. Assim:
Para a carga positiva:
E(x+) approx E(x1) + dEdxg|x1 cdot a
Para a carga negativa:
E(x-) approx E(x1) - dEdxg|x1 cdot a

Passo 5

Substituindo essas aproximações nas expressões das forças:
Para a carga positiva:
F+ = q ( E(x1) + dEdxg|x1 cdot a ) x
Para a carga negativa:
F- = -q ( E(x1) - dEdxg|x1 cdot a ) x
Agora, somamos as forças para encontrar a força resultante no dipolo:
Fresu
Substituindo:
Fresu
Simplificando:
Fresu

Passo 6

O momento de dipolo elétrico ( p) é definido como:
p = q cdot d
onde d é o vetor que vai da carga negativa para a positiva. No nosso caso, d = 2a cdot x, então:
p = q cdot 2a cdot x = 2aq cdot x
Substituindo na expressão da força resultante:
Fresu

Resposta

A força resultante no dipolo é Fresu.

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