Exercício 4 - Um dipolo elétrico consiste em duas cargas e separadas por uma distância muito pequena . Seu centro está no eixo em e aponta ao longo do eixo na direção positiva . O dipolo está em um campo elétrico não uniforme, que também está na direção , dado por , onde é uma constante. (a) Encontre a força na carga positiva e na carga negativa e mostre que a força resultante no dipolo é . (b) Mostre que, em geral, se um dipolo de momento está ao longo do eixo em um campo elétrico na direção , a força resultante no dipolo é dada aproximadamente por .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico, que é composto por duas cargas, uma positiva e outra negativa , separadas por uma distância pequena de . O centro desse dipolo está no eixo na posição e aponta na direção positiva do eixo . Esse dipolo está inserido em um campo elétrico não uniforme, também na direção do eixo , dado por , onde é uma constante.
Vamos precisar usar conceitos de força elétrica em dipolos e como essa força atua quando o campo não é uniforme. Basicamente, vamos calcular as forças nas cargas positiva e negativa separadamente e depois ver como elas se combinam para dar a força resultante no dipolo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a força sobre cada carga do dipolo. A fórmula para a força elétrica () em uma carga () em um campo elétrico () é:
No nosso caso, temos duas cargas:
Carga positiva () localizada em .
Carga negativa () localizada em .
Vamos aplicar a fórmula para cada uma delas.
Passo 3
Para a carga positiva :
Para a carga negativa :
Aqui, e . Como a distância é muito pequena, podemos aproximar que e . Mas para capturar a variação do campo elétrico, precisamos considerar a diferença entre e .
Passo 4
Vamos expandir o campo elétrico em uma série de Taylor em torno de :
Como 2a é pequeno, vamos ignorar os termos de ordem superior e considerar apenas o primeiro termo da expansão. Assim:
Para a carga positiva:
E(x+) approx E(x1) + dEdxg|x1 cdot a
Para a carga negativa:
E(x-) approx E(x1) - dEdxg|x1 cdot a
Passo 5
Substituindo essas aproximações nas expressões das forças:
Para a carga positiva:
F+ = q ( E(x1) + dEdxg|x1 cdot a ) x
Para a carga negativa:
F- = -q ( E(x1) - dEdxg|x1 cdot a ) x
Agora, somamos as forças para encontrar a força resultante no dipolo:
Fresu
Substituindo:
Fresu
Simplificando:
Fresu
Passo 6
O momento de dipolo elétrico (p) é definido como:
p = q cdot d
onde d é o vetor que vai da carga negativa para a positiva. No nosso caso, d = 2a cdot x, então: