Uma balsa é feita de material com densidade rhob=800 kg / m^3. Um modelo de simplificação para a balsa é um paralelepípedo de altura h=1,7 m e área A. Quando colocada na água do mar, com densidade rho mar =1,03 times 10^3 kg / m^3, a balsa submerge parcialmente.
Determine a área da balsa (em m^2) para que, com uma massa extra sobre ela de m=7,1 times 10^4 kg, ela permaneça flutuando com uma altura 17,2 cm acima da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui! Temos uma balsa feita de um material com densidade de rhob = 800, kg/m^3. Ela tem a forma de um paralelepípedo com altura h = 1,7, m e uma área de base A que a gente precisa descobrir. Quando a balsa é colocada na água do mar, que tem densidade rhomar = 1,03 times 10^3, kg/m^3, ela não afunda completamente, mas fica parcialmente submersa. Além disso, tem uma massa extra de m = 7,1 times 10^4, kg sobre a balsa, e queremos que ela flutue com 17,2, cm acima da superfície da água. Para resolver isso, vamos usar os princípios de densidade e empuxo (Princípio de Arquimedes).

Passo 2

Primeiro, vamos converter a altura que a balsa fica acima da água de centímetros para metros para facilitar os cálculos: 17,2, cm = 0,172, m.

Passo 3

Segundo, sabemos que o Princípio de Arquimedes diz que o empuxo (a força que a água exerce para empurrar a balsa para cima) é igual ao peso da água deslocada pela parte submersa da balsa. Matematicamente, isso é:
Empuxo = rhomar times g times Vdeslocado
Onde:
  • rhomar = 1,03 times 10^3, kg/m^3 (densidade da água do mar)
  • g é a aceleração da gravidade (que vai se cancelar depois)
  • Vdeslocado é o volume de água deslocado pela parte submersa da balsa.

Passo 4

O volume deslocado pela balsa é a área da base multiplicada pela altura submersa. A altura submersa é a altura total da balsa menos a parte que fica acima da água:
Hsubmersa = h - 0,172, m = 1,7, m - 0,172, m = 1,528, m
Então,
Vdeslocado = A times Hsubmersa = A times 1,528, m

Passo 5

Agora, vamos igualar o empuxo ao peso total da balsa mais a massa extra:
rhomar times g times A times 1,528 = (rhob times h times A + m) times g
Aqui, g aparece nos dois lados e pode ser cancelado:
rhomar times A times 1,528 = rhob times h times A + m
Substituindo os valores conhecidos:
1,03 times 10^3 times A times 1,528 = 800 times 1,7 times A + 7,1 times 10^4

Passo 6

Vamos resolver para A:
Primeiro, calcula os termos:
1,03 times 10^3 times 1,528 = 1,57 times 10^3
Então:
1,57 times 10^3 times A = 800 times 1,7 times A + 7,1 times 10^4
Calculando:
1,57 times 10^3 times A - 1,36 times 10^3 times A = 7,1 times 10^4
0,21 times 10^3 times A = 7,1 times 10^4
A = 7,1 times 10^40,21 times 10^3 = 7,1 times 10^4210 approx 338,10, m^2

Resposta

A área da balsa necessária para que ela flutue com uma altura de 17,2, cm acima da superfície é aproximadamente 338,10, m^2.

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