- Em uma banca, há 5 exemplares iguais da “Veja”, 6 exemplares iguais a “Manchete” 4 exemplares iguais da “Isto é”. Quantas coleções não-vazias de revistas dessa banca podem ser formadas?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas coleções não-vazias de revistas podem ser formadas numa banca onde há:
-
exemplares iguais da “Veja”; -
exemplares iguais da “Manchete”; -
exemplares iguais da “Isto é”.
As perguntas são: quantas coleções distintas (não-vazias) podem ser formadas, levando em conta que exemplares do mesmo título são idênticos? Todas as informações relevantes foram listadas acima.
Passo 2
Vamos escolher um método simples e direto: para cada título decidimos quantas cópias levar (pode ser zero até o máximo disponível). A ideia-chave (princípio fundamental da contagem) é que, se para uma escolha A há
possibilidades e, independentemente disso, para uma escolha B há
possibilidades, então escolher A e B juntos tem
possibilidades. Aqui temos três escolhas independentes (quantidade de cada título), então multiplicamos o número de opções de cada uma. Vou explicar passo a passo como contar as opções de cada título.
Passo 3
Contando opções para “Veja”: posso escolher
,
,
,
,
ou
exemplares. Isso dá
opções possíveis para a quantidade de “Veja”. Explicando: o
aparece porque incluímos a possibilidade de escolher
.
Passo 4
Contando opções para “Manchete”: posso escolher
ou
exemplares. Isso dá
opções possíveis para a quantidade de “Manchete”.
Passo 5
Contando opções para “Isto é”: posso escolher
ou
exemplares. Isso dá
opções possíveis para a quantidade de “Isto é”.
Passo 6
Agora aplicamos o princípio multiplicativo: o número total de coleções considerando todas as combinações possíveis (incluindo a coleção vazia, que é escolher
de cada título) é
Faço a conta em duas etapas para você ver certinho:
e
. Então há
combinações no total, contando também a coleção vazia.
Passo 7
O enunciado pede coleções não-vazias, isto é, devemos excluir a opção em que escolhemos
exemplares de todos os títulos simultaneamente. Essa única coleção vazia corresponde a uma combinação, então subtraímos
:
Passo 8
Para fixar com um exemplo menor (pra você ver que o raciocínio bate): se eu tivesse apenas
exemplares de A e
exemplar de B, as opções seriam
no total; retirando a vazia sobra
. Dá para listar e conferir:
. Mesmo raciocínio usado no problema principal.