1. Em uma banca, há 5 exemplares iguais da “Veja”, 6 exemplares iguais a “Manchete” 4 exemplares iguais da “Isto é”. Quantas coleções não-vazias de revistas dessa banca podem ser formadas?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas coleções não-vazias de revistas podem ser formadas numa banca onde há:
  • 5 exemplares iguais da “Veja”;
  • 6 exemplares iguais da “Manchete”;
  • 4 exemplares iguais da “Isto é”.
As perguntas são: quantas coleções distintas (não-vazias) podem ser formadas, levando em conta que exemplares do mesmo título são idênticos? Todas as informações relevantes foram listadas acima.

Passo 2

Vamos escolher um método simples e direto: para cada título decidimos quantas cópias levar (pode ser zero até o máximo disponível). A ideia-chave (princípio fundamental da contagem) é que, se para uma escolha A há a possibilidades e, independentemente disso, para uma escolha B há b possibilidades, então escolher A e B juntos tem a\cdot b possibilidades. Aqui temos três escolhas independentes (quantidade de cada título), então multiplicamos o número de opções de cada uma. Vou explicar passo a passo como contar as opções de cada título.

Passo 3

Contando opções para “Veja”: posso escolher 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 exemplares. Isso dá
5+1=6
opções possíveis para a quantidade de “Veja”. Explicando: o +1 aparece porque incluímos a possibilidade de escolher 0.

Passo 4

Contando opções para “Manchete”: posso escolher 0,1,2,3,4,5 ou 6 exemplares. Isso dá
6+1=7
opções possíveis para a quantidade de “Manchete”.

Passo 5

Contando opções para “Isto é”: posso escolher 0,1,2,3 ou 4 exemplares. Isso dá
4+1=5
opções possíveis para a quantidade de “Isto é”.

Passo 6

Agora aplicamos o princípio multiplicativo: o número total de coleções considerando todas as combinações possíveis (incluindo a coleção vazia, que é escolher 0 de cada título) é
(5+1)\cdot(6+1)\cdot(4+1)=6\cdot7\cdot5.
Faço a conta em duas etapas para você ver certinho: 6\cdot7=42 e 42\cdot5=210. Então há 210 combinações no total, contando também a coleção vazia.

Passo 7

O enunciado pede coleções não-vazias, isto é, devemos excluir a opção em que escolhemos 0 exemplares de todos os títulos simultaneamente. Essa única coleção vazia corresponde a uma combinação, então subtraímos 1:
210-1=209.

Passo 8

Para fixar com um exemplo menor (pra você ver que o raciocínio bate): se eu tivesse apenas 2 exemplares de A e 1 exemplar de B, as opções seriam (2+1)\cdot(1+1)=3\cdot2=6 no total; retirando a vazia sobra 5. Dá para listar e conferir: \{A\},\{A,A\},\{B\},\{A,B\},\{A,A,B\}. Mesmo raciocínio usado no problema principal.

Resposta

209

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