- Escrevem-se os inteiros de 1 até 2222 . Quantas vezes o algarismo 0 é escrito?
Passo 1
O enunciado pede: ao escrever todos os inteiros de
até
, quantas vezes o algarismo
aparece?\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Escrevemos todos os números
. - Não se escrevem zeros à esquerda (ou seja, não contamos zeros “implícitos” em números com menos dígitos).
- Precisamos contar todas as ocorrências do dígito
nas escritas usuais desses números. - Para organizar a contagem, vamos olhar posição a posição: unidades, dezenas, centenas e milhares.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): contar o número de zeros que aparecem em cada posição decimal separadamente e depois somar. Por que isso funciona? Porque cada ocorrência de um zero está em exatamente uma posição (unidades, dezenas, centenas ou milhares) quando o número é escrito normalmente. Atenção importante: uma dada posição só existe (ou é escrita) para números com comprimento suficiente — por exemplo, a casa das centenas só aparece em números
. Então, ao contar zeros em cada posição, devemos considerar apenas os números que realmente têm essa posição escrita.
Passo 3
Contagem dos zeros na casa das unidades (último dígito).\n
Um zero na unidade ocorre exatamente quando o número é múltiplo de . O número de múltiplos de
entre
e
é
Um zero na unidade ocorre exatamente quando o número é múltiplo de
Logo, há
zeros na casa das unidades.
Passo 4
Contagem dos zeros na casa das dezenas (segunda a partir da direita).\n
Observação: a casa das dezenas só é escrita em números . Além disso, em números de 2 dígitos a dezena não pode ser zero (por exemplo, não escrevemos
); portanto, dezenas iguais a zero só aparecem em números com pelo menos
dígitos (isto é, a partir de
). Vamos separar em números de
e
dígitos:
Observação: a casa das dezenas só é escrita em números
- Números de
dígitos ( a ): um número (onde é a centena, a dezena, a unidade) tem quando (9 opções) e (10 opções). Assim:
números de
dígitos com dezena
.
- Números de
dígitos ( a ): escrevemos como (milhares , centenas , dezenas , unidades ). Queremos . - Para
a (isto é, ), pode ser a (10 opções) e pode ser a (10 opções), logo
números com nesse bloco (correspondem a – ). - Para
a (isto é, ), devemos ver quais têm . Esses números são – , – e – — na prática, para cada valor de há opções de , totalizando . - Soma no bloco de
dígitos: .
- Para
Somando
e
dígitos:
Logo, há
zeros na casa das dezenas.
Passo 5
Contagem dos zeros na casa das centenas (terceira a partir da direita).\n
A casa das centenas só é escrita em números . Em números de
dígitos (
–
) a centena é o dígito mais à esquerda e não pode ser zero. Então zeros na centena só aparecem em números de
dígitos (
–
).
A casa das centenas só é escrita em números
Para
com
ou
, queremos
:
- Para
– (isto é, ), dá os números – : opções de e . - Para
– (isto é, ), dá – : também números (todos ≤ ).
Total de zeros na centena:
Passo 6
Contagem dos zeros na casa dos milhares (quarta a partir da direita).\n
A casa dos milhares só aparece em números . Quando escrevemos um número com
dígitos (como
) não escrevemos a casa dos milhares, portanto não contamos zeros “ali”. Um zero efetivamente escrito na casa dos milhares só ocorreria se um número com pelo menos quatro dígitos tivesse essa casa igual a zero — mas isso não existe porque o primeiro (mais à esquerda) dígito de um número escrito não pode ser
. Logo, o algarismo
NÃO aparece na casa dos milhares em nossa escrita de
a
. Então:
A casa dos milhares só aparece em números
Passo 7
Somamos todas as contribuições por posição:\n
- unidades:
\n - dezenas:
\n - centenas:
\n - milhares:
\n
Soma total: