1. Escrevem-se os inteiros de 1 até 2222 . Quantas vezes o algarismo 0 é escrito?

Passo 1

O enunciado pede: ao escrever todos os inteiros de 1 até 2222, quantas vezes o algarismo 0 aparece?\n
Informações relevantes dadas:
  • Escrevemos todos os números 1,2,3,\dots,2222.
  • Não se escrevem zeros à esquerda (ou seja, não contamos zeros “implícitos” em números com menos dígitos).
  • Precisamos contar todas as ocorrências do dígito 0 nas escritas usuais desses números.
  • Para organizar a contagem, vamos olhar posição a posição: unidades, dezenas, centenas e milhares.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): contar o número de zeros que aparecem em cada posição decimal separadamente e depois somar. Por que isso funciona? Porque cada ocorrência de um zero está em exatamente uma posição (unidades, dezenas, centenas ou milhares) quando o número é escrito normalmente. Atenção importante: uma dada posição só existe (ou é escrita) para números com comprimento suficiente — por exemplo, a casa das centenas só aparece em números \ge 100. Então, ao contar zeros em cada posição, devemos considerar apenas os números que realmente têm essa posição escrita.

Passo 3

Contagem dos zeros na casa das unidades (último dígito).\n
Um zero na unidade ocorre exatamente quando o número é múltiplo de 10. O número de múltiplos de 10 entre 1 e 2222 é
\left\lfloor \frac{2222}{10} \right\rfloor = 222.
Logo, há 222 zeros na casa das unidades.

Passo 4

Contagem dos zeros na casa das dezenas (segunda a partir da direita).\n
Observação: a casa das dezenas só é escrita em números \ge 10. Além disso, em números de 2 dígitos a dezena não pode ser zero (por exemplo, não escrevemos 05); portanto, dezenas iguais a zero só aparecem em números com pelo menos 3 dígitos (isto é, a partir de 100). Vamos separar em números de 3 e 4 dígitos:
  • Números de 3 dígitos ( 100 a 999): um número ABC (onde A é a centena, B a dezena, C a unidade) tem B=0 quando A\in\{1,\dots,9\} (9 opções) e C\in\{0,\dots,9\} (10 opções). Assim:
9 \times 1 \times 10 = 90
números de 3 dígitos com dezena 0.
  • Números de 4 dígitos ( 1000 a 2222): escrevemos como ABCD (milhares A, centenas B, dezenas C, unidades D). Queremos C=0.
    • Para 1000 a 1999 (isto é, A=1), B pode ser 0 a 9 (10 opções) e D pode ser 0 a 9 (10 opções), logo
    10 \times 1 \times 10 = 100números com C=0 nesse bloco (correspondem a 1000 1099).
    • Para 2000 a 2222 (isto é, A=2), devemos ver quais têm C=0. Esses números são 2000 2099, 2100 2109 e 2200 2209 — na prática, para cada valor de B=0,1,2 10 opções de D, totalizando 3\times10=30.
    • Soma no bloco de 4 dígitos: 100 + 30 = 130.
Somando 3 e 4 dígitos:
90 + 130 = 220.
Logo, há 220 zeros na casa das dezenas.

Passo 5

Contagem dos zeros na casa das centenas (terceira a partir da direita).\n
A casa das centenas só é escrita em números \ge 100. Em números de 3 dígitos ( 100 999) a centena é o dígito mais à esquerda e não pode ser zero. Então zeros na centena só aparecem em números de 4 dígitos ( 1000 2222).
Para ABCD com A=1 ou 2, queremos B=0:
  • Para 1000 1999 (isto é, A=1), B=0 dá os números 1000 1099: 10 \times 10 = 100 opções de C e D.
  • Para 2000 2222 (isto é, A=2), B=0 2000 2099: também 100 números (todos ≤ 2222).
Total de zeros na centena:
100 + 100 = 200.

Passo 6

Contagem dos zeros na casa dos milhares (quarta a partir da direita).\n
A casa dos milhares só aparece em números \ge 1000. Quando escrevemos um número com 3 dígitos (como 500) não escrevemos a casa dos milhares, portanto não contamos zeros “ali”. Um zero efetivamente escrito na casa dos milhares só ocorreria se um número com pelo menos quatro dígitos tivesse essa casa igual a zero — mas isso não existe porque o primeiro (mais à esquerda) dígito de um número escrito não pode ser 0. Logo, o algarismo 0 NÃO aparece na casa dos milhares em nossa escrita de 1 a 2222. Então:
\text{zeros na casa dos milhares} = 0.

Passo 7

Somamos todas as contribuições por posição:\n
  • unidades: 222\n
  • dezenas: 220\n
  • centenas: 200\n
  • milhares: 0\n
    Soma total:
222 + 220 + 200 + 0 = 642.

Resposta

642

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