1. Quantos são os inteiros positivos de 4 dígitos nos quais o algarismo 5 figura?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os inteiros positivos de 4 dígitos nos quais o algarismo 5 figura?”\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • Estamos interessados em inteiros positivos de 4 dígitos; ou seja, todos os números de 1000 a 9999.\n
  • Queremos contar apenas aqueles em que o dígito 5 aparece pelo menos uma vez (ou seja, um ou mais dígitos iguais a 5).\n
    Nenhuma figura ou tabela foi fornecida; todas as informações necessárias estão no enunciado acima.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando o porquê): vou usar o princípio do complemento. Em vez de tentar contar diretamente todos os números que têm pelo menos um 5 (o que exige atenção a casos com 1, 2, 3 ou 4 cincos), é normalmente mais simples contar todos os números de 4 dígitos e subtrair quantos não têm nenhum 5. Isso usa a ideia básica do princípio das contagens complementares:\n
\text{(números com pelo menos um 5)} = \text{(total de números 4 dígitos)} - \text{(números sem nenhum 5)}.úúíú
Essa abordagem evita subdividir em muitos casos e é mais direta para fazer rápido na prova.

Passo 3

Contar o total de inteiros positivos de 4 dígitos (conceito: princípio fundamental da contagem / regra do produto).\n
  • O primeiro dígito (milhar) não pode ser zero; pode ser 1,2,\dots,9, ou seja, 9 opções.\n
  • Cada um dos outros três dígitos (centena, dezena, unidade) pode ser 0,1,\dots,9, ou seja, 10 opções cada.\n
    Pelo princípio do produto, o total é
9\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 9000.

Passo 4

Contar os números de 4 dígitos que não têm o algarismo 5 em nenhuma posição (isto é, nenhum dígito igual a 5).\n
  • Primeiro dígito: deve ser 1,2,\dots,9 mas não pode ser 5. Logo 8 opções.\n
  • Cada um dos outros três dígitos: podem ser 0,1,\dots,9 exceto 5, ou seja, 9 opções cada.\n
    Aplicando o princípio do produto,
8\cdot 9\cdot 9\cdot 9 = 8\cdot 9^{3}.
Calcule 9^{3}=729, então
8\cdot 729 = 5832.

Passo 5

Aplicar o complemento: o número de inteiros de 4 dígitos que possuem pelo menos um 5 é
9000 - 5832 = 3168.
Aqui fizemos uma subtração simples: 9000-5000=4000, 4000-800=3200, 3200-32=3168.

Passo 6

Verificação alternativa rápida (inclusão-exclusão) — só para dar mais segurança ao raciocínio:\n
Defina eventos A_1,A_2,A_3,A_4 = "há um 5 na posição 1,2,3,4" respectivamente. Contagens:\n
  • \#A_1 = 10^{3}=1000 (primeiro dígito fixo 5, os outros 3 livres).\n
  • \#A_2=\#A_3=\#A_4 = 9\cdot 10^{2}=900 (se posição não é a primeira, o milhar tem 9 opções e os outros livres).\n
    Soma das simples: 1000+3\cdot 900=3700.\n
    Interseções de pares: três pares envolvendo A_1 têm 10^{2}=100 cada; três pares sem A_1 têm 9\cdot 10=90 cada. Soma dos pares: 3\cdot100+3\cdot90=570.\n
    Interseções de trios: três trios com A_1 têm 10 cada; o trio sem A_1 tem 9. Soma dos trios: 3\cdot10+9=39.\n
    Interseção de todos os quatro: 1.\n
    Pela inclusão-exclusão:
3700-570+39-1=3168,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

3168

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