- Quantos são os inteiros positivos de 4 dígitos nos quais o algarismo 5 figura?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos são os inteiros positivos de 4 dígitos nos quais o algarismo 5 figura?”\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
- Estamos interessados em inteiros positivos de 4 dígitos; ou seja, todos os números de
a .\n - Queremos contar apenas aqueles em que o dígito
aparece pelo menos uma vez (ou seja, um ou mais dígitos iguais a ).\n
Nenhuma figura ou tabela foi fornecida; todas as informações necessárias estão no enunciado acima.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando o porquê): vou usar o princípio do complemento. Em vez de tentar contar diretamente todos os números que têm pelo menos um
(o que exige atenção a casos com 1, 2, 3 ou 4 cincos), é normalmente mais simples contar todos os números de 4 dígitos e subtrair quantos não têm nenhum
. Isso usa a ideia básica do princípio das contagens complementares:\n
Essa abordagem evita subdividir em muitos casos e é mais direta para fazer rápido na prova.
Passo 3
Contar o total de inteiros positivos de 4 dígitos (conceito: princípio fundamental da contagem / regra do produto).\n
- O primeiro dígito (milhar) não pode ser zero; pode ser
, ou seja, opções.\n - Cada um dos outros três dígitos (centena, dezena, unidade) pode ser
, ou seja, opções cada.\n
Pelo princípio do produto, o total é
Passo 4
Contar os números de 4 dígitos que não têm o algarismo
em nenhuma posição (isto é, nenhum dígito igual a
).\n
- Primeiro dígito: deve ser
mas não pode ser . Logo opções.\n - Cada um dos outros três dígitos: podem ser
exceto , ou seja, opções cada.\n
Aplicando o princípio do produto,
Calcule
, então
Passo 5
Aplicar o complemento: o número de inteiros de 4 dígitos que possuem pelo menos um
é
Aqui fizemos uma subtração simples:
,
,
.
Passo 6
Verificação alternativa rápida (inclusão-exclusão) — só para dar mais segurança ao raciocínio:\n
Defina eventos = "há um
na posição
" respectivamente. Contagens:\n
Defina eventos
-
(primeiro dígito fixo , os outros 3 livres).\n -
(se posição não é a primeira, o milhar tem 9 opções e os outros livres).\n
Soma das simples:.\n
Interseções de pares: três pares envolvendotêm cada; três pares sem têm cada. Soma dos pares: .\n
Interseções de trios: três trios comtêm cada; o trio sem tem . Soma dos trios: .\n
Interseção de todos os quatro:.\n
Pela inclusão-exclusão:
confirmando o resultado anterior.