1. O problema do exemplo 1 - Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? - foi resolvido por um aluno do modo a seguir: “A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira pessoa, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira pessoa. Há portanto 10 \times 5=50 modos de formar um casal”. Onde está o erro?

Passo 1

O enunciado diz que há 5 homens e 5 mulheres e pergunta: de quantos modos se pode formar um casal? O aluno resolveu assim: "a primeira pessoa pode ser escolhida de 10 modos; escolhida a primeira, a segunda (de sexo diferente) tem 5 modos; logo 10\times5=50". A pergunta do exercício aqui é: onde está o erro nessa solução do aluno? Listei as informações dadas:
  • 5 homens e 5 mulheres.
  • Um “casal” é formado por uma pessoa de cada sexo (um homem e uma mulher).
  • A solução do aluno resultou em 10\times5=50 modos.

Passo 2

Definição importante: precisamos decidir se “formar um casal” considera a ordem das escolhas ou não. Um casal normalmente é um par sem ordem: o casal formado por um homem A e uma mulher B é o mesmo casal que a mulher B com o homem A. Em termos combinatórios, isso significa que queremos contar pares não ordenados “um homem + uma mulher”.

Passo 3

Entendendo a razão do aluno: ele contou a escolha da “primeira pessoa” entre 10 pessoas e depois a escolha da “segunda pessoa” entre as 5 do sexo oposto, obtendo 10\times5=50. O passo do aluno está correto ao contar sequências ordenadas (primeira pessoa, segunda pessoa) que respeitam a condição “sexos diferentes”. Mas o problema pede casais sem ordem. Ou seja, o aluno contou cada casal duas vezes: uma vez com o homem escolhido primeiro e outra vez com a mulher escolhida primeiro.

Passo 4

Exemplo concreto para ver a duplicação: nomeie homens M_1,M_2,\dots,M_5 e mulheres W_1,W_2,\dots,W_5.
  • O par formado por M_1 e W_1 pode aparecer nas escolhas ordenadas como (M_1\\ \text{primeiro},\\ W_1\\ \text{segundo}) e também como (W_1\\ \text{primeira},\\ M_1\\ \text{segundo}). Ambas as sequências foram contadas pelo método do aluno. Portanto cada casal não ordenado é contado exatamente 2 vezes pelo método do aluno.

Passo 5

Cálculo direto correto (método simples): escolha o homem e escolha a mulher. Pelo princípio fundamental da contagem, se há 5 escolhas possíveis para o homem e 5 escolhas possíveis para a mulher, o número de casais (um homem com uma mulher) é
5\times5=25.
Aqui não há duplicação porque a escolha “homem” e a escolha “mulher” são papéis distintos — cada combinação homem+mulher aparece só uma vez neste procedimento.

Passo 6

Relação com o método do aluno (corrigindo): o método do aluno contou sequências ordenadas e deu 10\times5=50. Como vimos no Passo 4, cada casal não ordenado aparece duas vezes nas sequências ordenadas. Portanto devemos dividir por 2:
\frac{10\times5}{2}=\frac{50}{2}=25,
o que coincide com o resultado do Passo 5.

Passo 7

Resumo didático do conceito usado: quando estamos contando pares não ordenados formados por um elemento de um conjunto de tamanho m e outro de um conjunto de tamanho w (aqui m=5, w=5), a contagem correta é m\times w. Se por algum motivo você contar sequências ordenadas que colocam a pessoa A primeiro e B segundo e também B primeiro e A segundo, então cada par não ordenado é contado duas vezes e você precisa dividir por 2.

Passo 8

Concluindo com incentivo: o erro do aluno é confundir pares ordenados com pares não ordenados — erro muito comum. Agora que você viu o porquê e duas formas de pensar (escolher homem e mulher; ou contar ordenado e dividir por 2), dá para aplicar isso rápido na prova.

Resposta

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