- O problema do exemplo 1 - Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? - foi resolvido por um aluno do modo a seguir: “A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira pessoa, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira pessoa. Há portanto
modos de formar um casal”. Onde está o erro?
Passo 1
O enunciado diz que há
homens e
mulheres e pergunta: de quantos modos se pode formar um casal? O aluno resolveu assim: "a primeira pessoa pode ser escolhida de
modos; escolhida a primeira, a segunda (de sexo diferente) tem
modos; logo
". A pergunta do exercício aqui é: onde está o erro nessa solução do aluno? Listei as informações dadas:
- Há
homens e mulheres. - Um “casal” é formado por uma pessoa de cada sexo (um homem e uma mulher).
- A solução do aluno resultou em
modos.
Passo 2
Definição importante: precisamos decidir se “formar um casal” considera a ordem das escolhas ou não. Um casal normalmente é um par sem ordem: o casal formado por um homem
e uma mulher
é o mesmo casal que a mulher
com o homem
. Em termos combinatórios, isso significa que queremos contar pares não ordenados “um homem + uma mulher”.
Passo 3
Entendendo a razão do aluno: ele contou a escolha da “primeira pessoa” entre
pessoas e depois a escolha da “segunda pessoa” entre as
do sexo oposto, obtendo
. O passo do aluno está correto ao contar sequências ordenadas (primeira pessoa, segunda pessoa) que respeitam a condição “sexos diferentes”. Mas o problema pede casais sem ordem. Ou seja, o aluno contou cada casal duas vezes: uma vez com o homem escolhido primeiro e outra vez com a mulher escolhida primeiro.
Passo 4
Exemplo concreto para ver a duplicação: nomeie homens
e mulheres
.
- O par formado por
e pode aparecer nas escolhas ordenadas como e também como . Ambas as sequências foram contadas pelo método do aluno. Portanto cada casal não ordenado é contado exatamente vezes pelo método do aluno.
Passo 5
Cálculo direto correto (método simples): escolha o homem e escolha a mulher. Pelo princípio fundamental da contagem, se há
escolhas possíveis para o homem e
escolhas possíveis para a mulher, o número de casais (um homem com uma mulher) é
Aqui não há duplicação porque a escolha “homem” e a escolha “mulher” são papéis distintos — cada combinação homem+mulher aparece só uma vez neste procedimento.
Passo 6
Relação com o método do aluno (corrigindo): o método do aluno contou sequências ordenadas e deu
. Como vimos no Passo 4, cada casal não ordenado aparece duas vezes nas sequências ordenadas. Portanto devemos dividir por
:
o que coincide com o resultado do Passo 5.
Passo 7
Resumo didático do conceito usado: quando estamos contando pares não ordenados formados por um elemento de um conjunto de tamanho
e outro de um conjunto de tamanho
(aqui
,
), a contagem correta é
. Se por algum motivo você contar sequências ordenadas que colocam a pessoa A primeiro e B segundo e também B primeiro e A segundo, então cada par não ordenado é contado duas vezes e você precisa dividir por
.
Passo 8
Concluindo com incentivo: o erro do aluno é confundir pares ordenados com pares não ordenados — erro muito comum. Agora que você viu o porquê e duas formas de pensar (escolher homem e mulher; ou contar ordenado e dividir por
), dá para aplicar isso rápido na prova.