Um banco está analisando o tempo médio (em dias) que pequenas empresas levam para pagar empréstimos. Sabe-se que, historicamente, o tempo de atraso tem média de 20 dias e variância de 64 dias. O banco selecionou uma amostra aleatória de 49 empréstimos para avaliar se a média de atraso está diminuindo. Determine a probabilidade de que o tempo de atraso tenha média menor do que 18 dias.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a média amostral do tempo de atraso, a partir de uma amostra aleatória de tamanho
, seja inferior a
dias, sabendo que a população histórica tem média
dias e variância
dias. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema do Limite Central, que diz que, para amostras grandes,
é aproximadamente normal com média
e variância
.
Passo 2
Pelo Teorema do Limite Central, a média amostral
satisfaz aproximadamente
ou seja
Passo 3
Calculemos o desvio‐padrão da média amostral (erro padrão):
Passo 4
Padronizando a variável, temos
onde
.
Passo 5
Usando a tabela da normal padrão,
Resposta
A probabilidade de a média amostral ser menor que
dias é aproximadamente
(4,01%).