Um banco está analisando o tempo médio (em dias) que pequenas empresas levam para pagar empréstimos. Sabe-se que, historicamente, o tempo de atraso tem média de 20 dias e variância de 64 dias. O banco selecionou uma amostra aleatória de 49 empréstimos para avaliar se a média de atraso está diminuindo. Determine a probabilidade de que o tempo de atraso tenha média menor do que 18 dias.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a média amostral do tempo de atraso, a partir de uma amostra aleatória de tamanho n=49, seja inferior a 18 dias, sabendo que a população histórica tem média mu=20 dias e variância sigma^2=64 dias. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema do Limite Central, que diz que, para amostras grandes, bar X é aproximadamente normal com média mu e variância sigma^2/n.

Passo 2

Pelo Teorema do Limite Central, a média amostral bar X satisfaz aproximadamente
bar X sim N!l(mu,,sigma^2/nr)
ou seja
bar X sim N!l(20,;64/49r)

Passo 3

Calculemos o desvio‐padrão da média amostral (erro padrão):
sigmabar X = raizsigma^2n = raiz6449 = 87approx1,1429

Passo 4

Padronizando a variável, temos
Pl(bar X < 18r) = P!l(Z < 18 - 208/7r) = P!l(Z < -1,75r)
onde Zsim N(0,1).

Passo 5

Usando a tabela da normal padrão,
Pl(Z < -1,75r) = Phi(-1,75)approx0,0401

Resposta

A probabilidade de a média amostral ser menor que 18 dias é aproximadamente 0,0401 (4,01%).

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