Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira. Encontre a solução de estado estacionário, se existir.
(c)
(c)
Passo 1
O problema é a equação do calor
com condição de contorno mista
e condição inicial
Para resolver, vamos separar em estado estacionário
us(x) e parte transiente
v(x,t) , e depois usar separação de variáveis e expansão em autovetores.
Passo 2
O estado estacionário satisfaz
ut=0 , logo
com
Integrando duas vezes vem
da condição
us'(0)=0 segue
A=0 , e de
us(pi)=0 segue
B=0 . Portanto
Passo 3
Definimos
v(x,t)=u(x,t)-us(x)=u(x,t) . Procuramos solução separável
Substituindo em
vt=vxx obtemos
As ODEs são
As condições em
X são
e levam aos autovalores e autovetores
com
Tn(t)=e^-mun t .
Passo 4
A solução geral da parte transiente é
Como
us=0 , temos
u=v e a condição inicial vira
Passo 5
Para achar
An usamos a ortogonalidade em
[0,pi] com
lang<= f,grang<==integral0^pi f(x)g(x),dx . Sabe-se que
Calculamos
onde
k=2n+12 . Logo
Passo 6
Substituindo em
v obtemos a solução completa
Como
us(x)=0 , o estado estacionário existe e é a função zero, para a qual
u(x,t)to0 quando
ttoinfty .
Resposta
O estado estacionário é
A solução do problema inicial e de fronteira é
Quando
ttoinfty ,
u(x,t)to us(x)=0 .