Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira. Encontre a solução de estado estacionário, se existir.
(c)
ut=ux x & se 0<x<pi e t>0, ux(0, t)=u(pi, t)=0 & se t >= 0, u(x, 0)=x & se 0 <= x <= pi

Passo 1

O problema é a equação do calor
ut=uxx, 0<x<pi,;t>0,
com condição de contorno mista
ux(0,t)=0, u(pi,t)=0,
e condição inicial
u(x,0)=x
Para resolver, vamos separar em estado estacionário us(x) e parte transiente v(x,t), e depois usar separação de variáveis e expansão em autovetores.

Passo 2

O estado estacionário satisfaz ut=0, logo
us''(x)=0
com
us'(0)=0, us(pi)=0
Integrando duas vezes vem
us(x)=Ax+B,
us'(x)=A,
da condição us'(0)=0 segue A=0, e de us(pi)=0 segue B=0. Portanto
us(x)=0

Passo 3

Definimos v(x,t)=u(x,t)-us(x)=u(x,t). Procuramos solução separável
v(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em vt=vxx obtemos
T'T=X''X=-mu
As ODEs são
X''+mu X=0, T'+mu T=0
As condições em X são
X'(0)=0, X(pi)=0,
e levam aos autovalores e autovetores
mun=l(2n+12r)^2, Xn(x)=cos!l(2n+12xr), n=0,1,2,dots
com Tn(t)=e^-mun t.

Passo 4

A solução geral da parte transiente é
v(x,t) =sumn=0^inftyAn,e^-mun t,Xn(x)
Como us=0, temos u=v e a condição inicial vira
u(x,0)=x =sumn=0^inftyAn,Xn(x)

Passo 5

Para achar An usamos a ortogonalidade em [0,pi] com
lang<= f,grang<==integral0^pi f(x)g(x),dx. Sabe-se que
integral0^pi cos^2!l(tfrac2n+12xr),dx=pi2
Calculamos
integral0^pi xcos(kx),dx =cos(kpi)-1k^2 =-1k^2,
onde k=2n+12. Logo
An =integral0^pi x,Xn(x),dxpi/2 =(-1/k^2)pi/2 =-2pi,k^2 =-8pi,(2n+1)^2

Passo 6

Substituindo em v obtemos a solução completa
u(x,t) =-sumn=0^infty8pi,(2n+1)^2 exp!l(-tfrac(2n+1)^24tr) cos!l(tfrac2n+12xr)
Como us(x)=0, o estado estacionário existe e é a função zero, para a qual u(x,t)to0 quando ttoinfty.

Resposta

O estado estacionário é
us(x)=0
A solução do problema inicial e de fronteira é
u(x,t) =-sumn=0^infty8pi,(2n+1)^2 exp!l(-tfrac(2n+1)^24tr) cos!l(tfrac2n+12xr)
Quando ttoinfty, u(x,t)to us(x)=0.

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