Encontre o domínio e a imagem das seguintes funções de duas variáveis:
f(x, y)=xx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função
f(x,y)=xx^2+y^2
O conteúdo envolvido é definição de domínio para funções de duas variáveis (excluir pontos onde o denominador se anula) e determinação da imagem (conjunto de valores possíveis), que podemos obter via coordenadas polares ou resolvendo a equação f(x,y)=c.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja não nulo:
x^2+y^2neq0
Em R^2, isso só falha em (x,y)=(0,0). Logo
Domínio:
R^2setminus(0,0)

Passo 3

Para determinar a imagem, use coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, r>0
Então
f(r,theta) =rcosthetar^2 =costhetar
Se costheta>0, ao fazer rto0^+ obtemos fto+infty e ao fazer rto+infty obtemos fto0^+, cobrindo (0,+infty). Se costheta<0, cobrimos (-infty,0). Se costheta=0, então f=0.
Logo a imagem de f é todo R.

Resposta

Domínio: R^2setminus(0,0)
Imagem: R

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