Considere as funções
f(x, y)=x^4 y^2-x^3 y, g(x, y)=sen(2 x-5 y), h(x, y)=e^x y sen y
Determine:
hx x y(0, pi)

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista de terceira ordem
hxxy(0,pi)
para a função
h(x,y)=e^xy,sin y
O conteúdo da matéria é cálculo de derivadas parciais sucessivas. Vamos primeiro achar partial h/partial x, depois partial^2 h/partial x^2 e por fim derivar em relação a y, avaliando em (0,pi).

Passo 2

Calcular hx=partialpartial xl(e^xysin yr).
Como sin y é constante em x e partialxe^xy=y,e^xy, temos
hx(x,y) = y,e^xy,sin y

Passo 3

Calcular hxx=partialpartial xl(y,e^xy,sin yr).
Aqui ysin y é constante em x, logo
hxx(x,y) = ysin y;partialpartial xl(e^xyr) = ysin y;(y,e^xy) = y^2,e^xy,sin y

Passo 4

Calcular hxxy=partialpartial yl(y^2,e^xy,sin yr).
Usando o produto de três fatores u=y^2, v=e^xy, w=sin y,
hxxy(x,y) = u'vw + uv'w + uvw' = 2y,e^xysin y + y^2,(x,e^xy)sin y + y^2,e^xycos y
Fatorando e^xy:
hxxy(x,y) = e^xyl(2ysin y + x,y^2sin y + y^2cos yr)

Passo 5

Avaliar em (x,y)=(0,pi). Como e^0cdotpi=1, sinpi=0 e cospi=-1,
hxxy(0,pi) = 1l(2picdot0 + 0cdotpi^2cdot0 + pi^2cdot(-1)r) = -pi^2

Resposta

hxxy(0,pi) = -pi^2

Exercícios relacionados