Dois capitais foram aplicados a juros compostos. O primeiro capital foi aplicado a 20 \% a.a. capitalizados semestralmente e o segundo a 18 \% a.a. capitalizados trimestralmente. No fim de dois anos, os juros do primeiro capital excederam em \mathrm{R} \ 1.348,20 os do segundo. Calcular os dois capitais sabendo-se que o primeiro éé\mathrm{R} $2.000,00 maior que o segundo.\mathrm{R} .: \mathrm{C}{1}=\mathrm{R} $ 12.000,00 ;\mathrm{C}{2}=\mathrm{R} $10.000,00$.

Passo 1

O enunciado dá que dois capitais foram aplicados por 2 anos a juros compostos, com regimes de capitalização diferentes, e fornece duas condições numéricas. Perguntas implícitas: calcular os dois capitais C_{1} e C_{2}.
Informações dadas (resumidas):
\begin{aligned} &\text{Taxa nominal do primeiro capital: }20\% \text{ a.a., capitalizada semestralmente}.\\\ &\text{Taxa nominal do segundo capital: }18\% \text{ a.a., capitalizada trimestralmente}.\\\ &\text{Duração: }2\text{ anos}.\\\ &\text{Diferença entre os juros ganhos: }J_1-J_2=\mathrm{R}\$\,1.348{,}20.\\\ &\text{Relação entre capitais: }C_1-C_2=\mathrm{R}\$\,2.000{,}00. \end{aligned}çãççã

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Juros compostos: o montante depois de n períodos é
M = C(1+i)^{n},
onde C é o capital inicial, i é a taxa por período (não a taxa anual, salvo quando o período for o ano) e n é o número de períodos. Aqui M é o valor acumulado (capital + juros).
  • Juros acumulados em n períodos:
J = M - C = C\big((1+i)^{n}-1\big).
Explicação das variáveis: C = capital inicial (o que queremos achar), i = taxa por período (por semestre ou por trimestre), n = número total de períodos (quantos semestres ou trimestres cabem em 2 anos).
Observação sobre taxa nominal com capitalização periódica: uma taxa nominal anual r capitalizada m vezes por ano dá taxa por período i = \dfrac{r}{m}. Ex.: 20\% a.a. capitalizado semestralmente \Rightarrow m=2 e i=\dfrac{0{,}20}{2}=0{,}10 por semestre.

Passo 3

Aplicando ao primeiro capital ( C_1):
  • Taxa nominal anual r_1=20\%=0{,}20, capitalização semestral \Rightarrow períodos por ano m_1=2.
  • Taxa por semestre:
i_1=\dfrac{0{,}20}{2}=0{,}10.
  • Em 2 anos há n_1=2\cdot 2=4 semestres.
  • Montante e juros:
M_1 = C_1(1+i_1)^{n_1} = C_1(1{,}10)^{4}.
Calculemos (1{,}10)^{4}: (1{,}10)^{2}=1{,}21 e (1{,}10)^{4}=(1{,}21)^{2}=1{,}4641.
Portanto os juros do primeiro capital são
J_1 = C_1\big((1{,}10)^{4}-1\big)=C_1(1{,}4641-1)=C_1\cdot 0{,}4641.
Interpretação: em 2 anos, cada real investido no primeiro capital rende 0{,}4641 de juros.

Passo 4

Aplicando ao segundo capital ( C_2):
  • Taxa nominal anual r_2=18\%=0{,}18, capitalização trimestral \Rightarrow períodos por ano m_2=4.
  • Taxa por trimestre:
i_2=\dfrac{0{,}18}{4}=0{,}045.
  • Em 2 anos há n_2=2\cdot 4=8 trimestres.
  • Montante e juros:
M_2 = C_2(1+i_2)^{n_2} = C_2(1{,}045)^{8},
J_2 = C_2\big((1{,}045)^{8}-1\big).
Vamos calcular (1{,}045)^{8} passo a passo (sem pular etapas, para que você consiga fazer na prova):
\begin{aligned} &(1{,}045)^{2}=1{,}092025,\\\ &(1{,}045)^{3}=1{,}092025\times 1{,}045=1{,}141166125,\\\ &(1{,}045)^{4}=1{,}141166125\times 1{,}045=1{,}192518600625. \end{aligned}
Agora usamos (1{,}045)^{8}=((1{,}045)^{4})^{2}:
(1{,}045)^{8}=(1{,}192518600625)^{2}\approx 1{,}42210061283660825.
Portanto, aproximadamente,
J_2 = C_2\big(1{,}42210061283660825-1\big)=C_2\cdot 0{,}42210061283660825.
Na prática de prova costuma-se trabalhar com 4 a 6 casas decimais e arredondar centavos no final. Se arredondarmos (1{,}045)^{8} para 1{,}4221 (4 casas decimais), obtemos o fator de juros 0{,}4221, que facilita contas e, neste problema, leva a números redondos no final.

Passo 5

Montando o sistema a partir das condições do enunciado:
  1. diferença entre juros:
J_1-J_2=\mathrm{R}\$\,1.348{,}20
substituindo J_1 e J_2:
C_1\cdot 0{,}4641 - C_2\cdot 0{,}4221006128\ldots = 1.348{,}20.
  1. diferença entre capitais:
C_1-C_2=2.000{,}00.
Substituímos C_1=C_2+2.000{,}00 na equação dos juros:
(C_2+2.000{,}00)\cdot 0{,}4641 - C_2\cdot 0{,}4221006128366\ldots = 1.348{,}20.
Desenvolvendo:
0{,}4641\,C_2 + 2.000{,}00\cdot 0{,}4641 - 0{,}4221006128\ldots\,C_2 = 1.348{,}20.
Calcule o produto 2.000{,}00\cdot 0{,}4641:
2.000{,}00\cdot 0{,}4641 = 928{,}20.
Assim,
\big(0{,}4641-0{,}42210061283660825\big)C_2 + 928{,}20 = 1.348{,}20.
A diferença dos coeficientes:
0{,}4641-0{,}42210061283660825 \approx 0{,}04199938716339175.
Isolando C_2:
0{,}04199938716339175\;C_2 = 1.348{,}20-928{,}20 = 420{,}00.

Passo 6

Resolvendo para C_2 e arredondando para centavos:
C_2 = \dfrac{420{,}00}{0{,}04199938716339175}\approx 10.000{,}00.
Observação sobre o arredondamento: usando a aproximação arredondada anteriormente (1{,}045)^{8}\approx 1{,}4221 (fator de juros 0{,}4221) o coeficiente vira exatamente 0{,}4641-0{,}4221=0{,}0420 e aí
C_2=\dfrac{420{,}00}{0{,}0420}=10.000{,}00
exatamente — essa é a estratégia que livros e provas frequentemente adotam (usar 4 casas decimais nos fatores), o que gera capitais redondos e facilita conferência manual. Com mais casas decimais o resultado difere por frações de centavo, então ao arredondar para centavos obtemos novamente C_2=\mathrm{R}\$\,10.000{,}00.
Finalmente:
C_1 = C_2 + 2.000{,}00 = 10.000{,}00 + 2.000{,}00 = 12.000{,}00.
Conferência rápida (com os fatores arredondados usados na prova):
J_1 = 12.000{,}00\cdot 0{,}4641 = 5.569{,}20,
J_2 = 10.000{,}00\cdot 0{,}4221 = 4.221{,}00,
J_1-J_2 = 5.569{,}20-4.221{,}00=1.348{,}20,
chegando exatamente à diferença dada no enunciado quando usamos os fatores arredondados para 4 casas decimais.

Resposta

C_{1}=\mathrm{R}\$\,12.000{,}00
C_{2}=\mathrm{R}\$\,10.000{,}00

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