Dois capitais foram aplicados a juros compostos. O primeiro capital foi aplicado a
a.a. capitalizados semestralmente e o segundo a
a.a. capitalizados trimestralmente. No fim de dois anos, os juros do primeiro capital excederam em
1.348,20
\mathrm{R} $2.000,00
\mathrm{R} .: \mathrm{C}{1}=\mathrm{R} $ 12.000,00
\mathrm{C}{2}=\mathrm{R} $10.000,00$.
Passo 1
O enunciado dá que dois capitais foram aplicados por
anos a juros compostos, com regimes de capitalização diferentes, e fornece duas condições numéricas. Perguntas implícitas: calcular os dois capitais
e
.
Informações dadas (resumidas):
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- Juros compostos: o montante depois de
períodos é
onde
é o capital inicial,
é a taxa por período (não a taxa anual, salvo quando o período for o ano) e
é o número de períodos. Aqui
é o valor acumulado (capital + juros).
- Juros acumulados em
períodos:
Explicação das variáveis:
= capital inicial (o que queremos achar),
= taxa por período (por semestre ou por trimestre),
= número total de períodos (quantos semestres ou trimestres cabem em
anos).
Observação sobre taxa nominal com capitalização periódica: uma taxa nominal anual
capitalizada
vezes por ano dá taxa por período
. Ex.:
a.a. capitalizado semestralmente
e
por semestre.
Passo 3
Aplicando ao primeiro capital (
):
- Taxa nominal anual
, capitalização semestral períodos por ano . - Taxa por semestre:
- Em
anos há semestres. - Montante e juros:
Calculemos
:
e
.
Portanto os juros do primeiro capital são
Portanto os juros do primeiro capital são
Interpretação: em 2 anos, cada real investido no primeiro capital rende
de juros.
Passo 4
Aplicando ao segundo capital (
):
- Taxa nominal anual
, capitalização trimestral períodos por ano . - Taxa por trimestre:
- Em
anos há trimestres. - Montante e juros:
Vamos calcular
passo a passo (sem pular etapas, para que você consiga fazer na prova):
Agora usamos
:
Portanto, aproximadamente,
Na prática de prova costuma-se trabalhar com 4 a 6 casas decimais e arredondar centavos no final. Se arredondarmos
para
(4 casas decimais), obtemos o fator de juros
, que facilita contas e, neste problema, leva a números redondos no final.
Passo 5
Montando o sistema a partir das condições do enunciado:
- diferença entre juros:
substituindo
e
:
- diferença entre capitais:
Substituímos
na equação dos juros:
Desenvolvendo:
Calcule o produto
:
Assim,
A diferença dos coeficientes:
Isolando
:
Passo 6
Resolvendo para
e arredondando para centavos:
Observação sobre o arredondamento: usando a aproximação arredondada anteriormente
(fator de juros
) o coeficiente vira exatamente
e aí
exatamente — essa é a estratégia que livros e provas frequentemente adotam (usar 4 casas decimais nos fatores), o que gera capitais redondos e facilita conferência manual. Com mais casas decimais o resultado difere por frações de centavo, então ao arredondar para centavos obtemos novamente
.
Finalmente:
Conferência rápida (com os fatores arredondados usados na prova):
chegando exatamente à diferença dada no enunciado quando usamos os fatores arredondados para 4 casas decimais.