Um banco faz operações via Internet e, após um estudo sobre o serviço prestado, concluiu o seguinte modelo teórico para o tempo de conexão (em minutos):
f(x)=\frac{1}{4} k e^{\frac{-1}{4} k x}, \text { se } x>0
com k sendo 1 ou 2 dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica. A porcentagem de pessoas físicas utilizando este serviço ainda é pequena e é estimada na ordem de 20 \%. Calcule:
A probabilidade de uma pessoa física ficar mais de 2 minutos conectada.

Passo 1

O enunciado descreve o tempo de conexão X (em minutos) com densidade
f(x)=\frac{1}{4}\,k\,e^{-\frac{k}{4}x},\quad x>0,
onde k=1 para pessoa física. Precisamos calcular
P(X>2)
no caso de pessoa física, ou seja, com k=1.

Passo 2

Para k=1, a densidade fica
f(x)=\frac{1}{4}\,e^{-\frac{1}{4}x},
que é uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda=\tfrac{1}{4}. A probabilidade de X ultrapassar 2 minutos é
P(X>2)=\int_{2}^{\infty}\frac{1}{4}\,e^{-\frac{1}{4}x}\,dx.

Passo 3

Calculemos a integral:
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{4}\,e^{-\frac{1}{4}x}\,dx =\biggl[-e^{-\frac{1}{4}x}\biggr]_{2}^{\infty} =0 - \bigl(-e^{-\frac{1}{4}\cdot2}\bigr) =e^{-\frac{1}{2}}.

Resposta

A probabilidade de uma pessoa física ficar mais de 2 minutos conectada é
e^{-\tfrac{1}{2}}.

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