1. Um banco oferece juros anual \ell(t), em \%, dependendo do tempo t, em anos, que o investidor esteja disposto a manter o investimento. Se \ell(t)=\frac{106 t}{t^{2}+16}, determine quantos anos deve manter o investimento para ter lucro máximo.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de juros anual \ell(t), em porcentagem, como função do tempo t em anos:
\ell(t)=\frac{106\,t}{t^{2}+16}.
Queremos saber para qual valor de t\ge0 essa taxa fica máxima. Para isso, vamos usar o teste da derivada: achar \ell'(t), igualá-la a zero para achar pontos críticos e depois verificar que é realmente um máximo.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para
\ell(t)=\frac{f(t)}{g(t)},
onde f(t)=106\,t e g(t)=t^2+16. Temos
f'(t)=106, \quad g'(t)=2t,
então
\ell'(t) =\frac{f'(t)\,g(t)-f(t)\,g'(t)}{\bigl(g(t)\bigr)^2} =\frac{106\,(t^2+16)-106\,t\cdot 2t}{(t^2+16)^2} =\frac{106\,(16 - t^2)}{(t^2+16)^2}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
\ell'(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad 16 - t^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2=16 \quad\Longrightarrow\quad t=4\text{ ou }t=-4.
Como t é tempo em anos e não pode ser negativo, ficamos com t=4.

Passo 4

Verificamos o sinal de \ell'(t) para ter certeza de que t=4 é um máximo:
  • Se 0\le t<4, então 16-t^2>0 e \ell'(t)>0, ou seja, a função cresce.
  • Se t>4, então 16-t^2<0 e \ell'(t)<0, ou seja, a função decresce.
    Logo, em t=4 a taxa atinge realmente um valor máximo.

Resposta

O investidor deve manter o investimento por 4 anos para obter a maior taxa de juros.

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