O custo para produzir x unidades de um certo produto é dado por
C(x)=\frac{x^{3}}{3}-6 x^{2}+30 x+25
Determine o lucro máximo na venda do produto por 10 reais a unidade.

Passo 1

Temos o custo de produção dado por
C(x)=\frac{x^{3}}{3}-6x^{2}+30x+25
e o preço de venda de cada unidade é de 10 reais. Queremos maximizar o lucro, que depende de derivadas (para achar extremos) e do teste da segunda derivada.

Passo 2

O lucro P(x) é a receita menos o custo. Como a receita é R(x)=10x, temos
P(x)=R(x)-C(x) =10x-\Bigl(\frac{x^{3}}{3}-6x^{2}+30x+25\Bigr) =-\frac{x^{3}}{3}+6x^{2}-20x-25.

Passo 3

Calculamos a derivada de P(x) e achamos os pontos críticos:
P'(x)=-x^{2}+12x-20.
Para P'(x)=0, resolvemos
-x^{2}+12x-20=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-12x+20=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2\quad\text{ou}\quad x=10.

Passo 4

Usamos a segunda derivada para classificar:
P''(x)=-2x+12.
Em x=2 temos P''(2)=8>0 (mínimo local) e em x=10 temos P''(10)=-8<0 (máximo local). Logo o lucro máximo ocorre em x=10.

Passo 5

Calculamos o lucro em x=10:
P(10)=-\frac{10^{3}}{3}+6\cdot10^{2}-20\cdot10-25 =-\frac{1000}{3}+600-200-25 =-\frac{1000}{3}+375 =\frac{125}{3}.

Resposta

O lucro máximo é \displaystyle \frac{125}{3} reais.

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