Um recipiente sem tampa em forma de paralelepípedo reto tem duas faces laterais opostas quadradas e volume igual a
. A soma das dimensões da base para que o mesmo tenha área de superfície mínima é:
(a) 18 cm
(b) 21 cm
(c) 24 cm
(d) 30 cm
(e) 33 cm
(a) 18 cm
(b) 21 cm
(c) 24 cm
(d) 30 cm
(e) 33 cm
Passo 1
O enunciado descreve uma caixa sem tampa em forma de paralelepípedo reto cuja base tem dimensões
e
, e cuja altura coincide com uma dessas dimensões, pois duas faces laterais opostas são quadradas. O volume é dado por
e queremos encontrar a soma
que minimiza a área de superfície. O conteúdo envolve usar a restrição de volume para expressar uma variável e, em seguida, minimizar a área via derivada.
Passo 2
Denotemos por
o lado da face quadrada (logo a altura
) e por
a outra dimensão da base. A condição de volume é
Desse modo, isolamos
Passo 3
A área de superfície
(sem tampa) tem o fundo de área
, mais duas faces quadradas de área
cada e mais duas faces retangulares de área
cada. Assim,
Substituindo
, fica
Passo 4
Para minimizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Com
, obtemos
Logo, a soma das dimensões da base é
Resposta
21 cm (alternativa (b))