Um recipiente sem tampa em forma de paralelepípedo reto tem duas faces laterais opostas quadradas e volume igual a 972 \mathrm{~cm}^{3}. A soma das dimensões da base para que o mesmo tenha área de superfície mínima é:
(a) 18 cm
(b) 21 cm
(c) 24 cm
(d) 30 cm
(e) 33 cm

Passo 1

O enunciado descreve uma caixa sem tampa em forma de paralelepípedo reto cuja base tem dimensões a e b, e cuja altura coincide com uma dessas dimensões, pois duas faces laterais opostas são quadradas. O volume é dado por \,972\text{ cm}^3 e queremos encontrar a soma a+b que minimiza a área de superfície. O conteúdo envolve usar a restrição de volume para expressar uma variável e, em seguida, minimizar a área via derivada.

Passo 2

Denotemos por a o lado da face quadrada (logo a altura h=a) e por b a outra dimensão da base. A condição de volume é
V = a \cdot b \cdot h = a\cdot b\cdot a = a^2 b = 972.
Desse modo, isolamos
b = \frac{972}{a^2}.

Passo 3

A área de superfície S (sem tampa) tem o fundo de área ab, mais duas faces quadradas de área a^2 cada e mais duas faces retangulares de área a b cada. Assim,
S = ab + 2a^2 + 2(ab) = 2a^2 + 3ab.
Substituindo b = 972/a^2, fica
S(a) = 2a^2 + 3a\cdot\frac{972}{a^2} = 2a^2 + \frac{2916}{a}.

Passo 4

Para minimizar S(a), calculamos a derivada e igualamos a zero:
S'(a) = 4a - \frac{2916}{a^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4a = \frac{2916}{a^2} \quad\Longrightarrow\quad a^3 = \frac{2916}{4} = 729 \quad\Longrightarrow\quad a = 9\text{ cm}.

Passo 5

Com a=9\text{ cm}, obtemos
b = \frac{972}{9^2} = \frac{972}{81} = 12\text{ cm}.
Logo, a soma das dimensões da base é
a + b = 9 + 12 = 21\text{ cm}.

Resposta

21 cm (alternativa (b))

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