O Banco A e o Banco B possuem os seguintes fluxos de créditos:
  • Banco A: 23 entradas mensais postecipadas de R$ 11745,00;
  • Banco B: 14 entradas bimestrais postecipadas de R$ 21462,00;
Para ajustar seus caixas, ambos concordam em trocar entre si os fluxos de créditos, considerando uma taxa de juros de 7,6 \% ao mês. Identifique qual a quantia que o Banco A deverá receber do B (caso deva pagar, o valor será negativo) no instante da troca, de modo que a troca seja equivalente para ambos.

Passo 1

O Banco A tem 23 pagamentos mensais postecipados de R$ 11745,00 e o Banco B tem 14 pagamentos bimestrais postecipados de R$ 21462,00. A taxa de juros é de 7,6\% ao mês. Para que a troca seja neutra, igualamos o valor presente dos fluxos trocados mais um ajuste em dinheiro X.

Passo 2

Calculamos o valor presente do fluxo do Banco A no instante zero como
\mathrm{PV}_{A} =11\,745\;\times\;a_{\overline{23}\,|\,0,076} \quad\text{sendo}\quad a_{\overline{n}\,|\,i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Temos
(1+0,076)^{-23}\approx0,185 \quad\Longrightarrow\quad a_{\overline{23}\,|\,0,076} =\frac{1-0,185}{0,076}\approx10,724,
\mathrm{PV}_{A} =11\,745\times10,724\approx125\,960.

Passo 3

O valor presente do fluxo do Banco B no instante zero é
\mathrm{PV}_{B} =21\,462\;\sum_{k=1}^{14}(1,076)^{-2k}.
Define-se r=(1,076)^{-2}\approx0,864, então
\sum_{k=1}^{14}r^k =\frac{1-r^{14}}{1-r} \approx\frac{1-0,1286}{1-0,864}\approx6,397,
\mathrm{PV}_{B} =21\,462\times6,397\approx137\,280.

Passo 4

Para que o Banco A fique em pé de igualdade, o dinheiro X recebido de B deve satisfazer
\mathrm{PV}_{B}+X=\mathrm{PV}_{A} \quad\Longrightarrow\quad X=\mathrm{PV}_{A}-\mathrm{PV}_{B} \approx125\,960-137\,280=-11\,320.
Como X saiu negativo, isso significa que o Banco A paga ao Banco B.

Resposta

\text{Banco A deverá receber do Banco B aproximadamente R\$ }-11\,320{,}00á.

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