Escreva a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de modo que sua distância à reta x+3=0 é sempre duas unidades maior do que sua distância ao ponto ( 1,1 ). Esboce.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que satisfazem
\text{distância de }P\text{ à reta }x+3=0 \;=\; \text{distância de }P\text{ ao ponto }(1,1)\;+\;2.âàâ
O conteúdo é geometria analítica: usamos a fórmula da distância ponto–reta e ponto–ponto e obtemos uma curva (parábola).

Passo 2

A distância de P(x,y) à reta x+3=0 é
d_{\text{reta}} = \frac{|x+3|}{\sqrt{1^2}} = |x+3|,
e a distância de P ao ponto (1,1) é
d_{\text{pto}} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}.
A condição dada é
|x+3| \;=\;\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}\;+\;2.

Passo 3

Para termos \sqrt{\cdot}\ge0 precisamos de |x+3|-2\ge0. Observamos que a única região viável dará origem à parábola que nos interessa. Tomando o ramo x+3\ge0 (isto é, x\ge-3), a equação vira
x+3-2 = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} \quad\Longrightarrow\quad x+1 = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2},
com a exigência adicional x+1\ge0\Rightarrow x\ge-1.

Passo 4

Elevando ao quadrado em x+1=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} obtemos
(x+1)^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2 \;\Longrightarrow\; x^2 +2x+1 = x^2 -2x+1 + y^2 -2y +1 \;\Longrightarrow\; 4x = y^2 -2y +1.
Reescrevendo,
y^2 -2y +1 = (y-1)^2 \quad\Longrightarrow\quad 4x = (y-1)^2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{(y-1)^2}{4}.
Essa parábola já satisfaz x\ge0, o que está dentro de x\ge-1.

Passo 5

Concluímos que o lugar geométrico é a parábola de equação
x = \frac{(y-1)^2}{4}.
Ela tem vértice em (0,1), concavidade para a direita e eixo paralelo ao eixo x.

Resposta

x = \frac{(y-1)^2}{4}.

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