Identifique e esboce as curvas abaixo. Determine todos os seus elementos, conforme o caso (focos, vértices, centro, eixos, diretriz, excentricidade, assíntotas) :
2 x^{2}-3 y^{2}=6

Passo 1

O enunciado dá a curva definida por 2x^{2}-3y^{2}=6. Estamos em Seções Cônicas, mais precisamente em hipérboles, e precisamos encontrar centro, vértices, focos, eixos, diretrizes, excentricidade e assíntotas, além de esboçar a forma geral.

Passo 2

Para pôr na forma canônica, dividimos ambos os lados por 6:
\frac{2x^{2}}{6}-\frac{3y^{2}}{6}=1
ou seja
\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1.
Daí percebemos que é hiperbole com eixo transverso ao longo de x.

Passo 3

Da forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
vemos que
a^{2}=3,\quad b^{2}=2,
logo
a=\sqrt{3},\quad b=\sqrt{2}.
O centro é (0,0).

Passo 4

Na hiperbole, o foco satisfaz
c^{2}=a^{2}+b^{2}=3+2=5,
logo c=\sqrt{5}.
Vértices: (\pm a,0)=(\pm\sqrt{3},0).
Focos: (\pm c,0)=(\pm\sqrt{5},0).

Passo 5

As assíntotas da hipérbole horizontal são dadas por
y=\pm\frac{b}{a}\,x
isto é
y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\;x.

Passo 6

A excentricidade vale
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{5}{3}}.

Passo 7

As diretrizes são retas verticais em
x=\pm\frac{a}{e} =\pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5/3}} =\pm\frac{3}{\sqrt{5}} =\pm\frac{3\sqrt{5}}{5}.

Passo 8

Para esboçar:
  1. Marque o centro em (0,0).
  2. Desenhe os vértices em (\pm\sqrt{3},0).
  3. Trace as assíntotas y=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}x.
  4. Desenhe os ramos da hipérbole abrindo-se para a esquerda e para a direita, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Centro: (0,0)
Equação canônica: \displaystyle\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1
Vértices: (\pm\sqrt{3},0)
Focos: (\pm\sqrt{5},0)
Eixo transverso: comprimento 2a=2\sqrt{3} sobre o x
Eixo conjugado: comprimento 2b=2\sqrt{2} sobre o y
Assíntotas: y=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,x
Excentricidade: e=\sqrt{\tfrac{5}{3}}
Diretrizes: x=\pm\dfrac{3\sqrt{5}}{5}

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