1. Um banco quer estimar a percentagem do número de clientes que pagam a fatura do cartão de crédito mensalmente. De uma amostra de 150 clientes, constatou-se que 15 desse estão inadimplentes com o pagamento mensal da fatura do cartão de crédito. Estimando que seja de 93 \% a taxa de confiabilidade a percentagem (proporção) de clientes com esta pendência. Usando o teste para a proporcionalidade. Determine o intervalo percentual de confiabilidade neste teste.
Depois usa a tabela normal padronizada.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o seguinte:
  • Dados da amostra: n=150 (tamanho da amostra) e x=15 clientes inadimplentes.
  • Nível de confiança pedido: 93\%.
  • Pergunta: determinar o intervalo de confiança (percentual) para a proporção de clientes inadimplentes usando o teste/intervalo para proporção e usando a tabela normal padronizada.

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda): vamos usar o intervalo de confiança aproximado para proporção baseado na normal padrão (aproximação pelo Teorema do Limite Central), cuja forma clássica é
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Aqui:
  • \hat p é a proporção amostral (estimador pontual),
  • z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão associado ao nível de confiança,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão da proporção.
Vou explicar cada peça em detalhe nos próximos passos para você entender como aplicar isso na prova.

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat p.
A proporção amostral é simplesmente o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra:
\hat p=\frac{x}{n}=\frac{15}{150}.
Efetuando a divisão:
\hat p=0,1.
Em termos percentuais isso equivale a 10\%.
Explicação didática: \hat p é a melhor estimativa pontual da proporção verdadeira p. Aqui observamos 15 inadimplentes entre 150 clientes, então na amostra a proporção é 0,1.

Passo 4

Verificar condições para usar a aproximação normal (regra prática).
Regra prática comum: tanto n\hat p quanto n(1-\hat p) devem ser maiores que 5 para a aproximação normal ser razoável.
Calcule:
n\hat p = 150\times 0,1 = 15,
n(1-\hat p)=150\times 0,9 = 135.
Como 15\ge 5 e 135\ge 5, a condição está satisfeita e podemos usar a fórmula normal sem problema.
Didática curta: isso garante que a distribuição da proporção amostral é aproximadamente normal, então o intervalo baseado em z faz sentido.

Passo 5

Encontrar z_{\alpha/2} usando a tabela normal padronizada.
Nível de confiança =93\% implica \alpha = 1-0,93 = 0,07. Como o intervalo é bilateral, cada cauda tem área \alpha/2 = 0,035.
Procuramos z tal que a área à esquerda é 1-\alpha/2 = 1-0,035 = 0,965. Ou seja, z_{\alpha/2}=z_{0{,}965}.
Usando a tabela da normal padrão (tabela de probabilidades acumuladas), o valor que corresponde à área 0,965 é aproximadamente
z_{0{,}965}\approx 1,812.
Explicação didática: tabelas de normal padrão dão a probabilidade P(Z\le z). Para 93% de confiança, você precisa do ponto simétrico que deixa 3,5% na cauda superior, então procura 0,965 na tabela e lê o z.

Passo 6

Calcular o erro padrão da proporção \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Primeiro calcule o produto \hat p(1-\hat p):
\hat p(1-\hat p)=0,1\times 0,9 = 0,09.
Divida por n:
\frac{0,09}{150}=0,0006.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{0,0006}\approx 0,024495.
Didática: o erro padrão mede a variabilidade da proporção amostral em torno do valor verdadeiro p. É análogo ao desvio padrão da média, mas adaptado para proporções.

Passo 7

Calcular a margem de erro E = z_{\alpha/2}\times erro padrão.
Usando z_{0{,}965}\approx 1,812 e erro padrão \approx 0,024495:
E = 1,812 \times 0,024495 \approx 0,04437.
Interpretação: a margem de erro em termos de proporção é aproximadamente 0,04437, ou seja cerca de 4,437\%.

Passo 8

Construir o intervalo de confiança para p e converter para percentuais.
Intervalo em proporção:
\hat p \pm E = 0,1 \pm 0,04437.
Limites:
\text{limite inferior} = 0,1 - 0,04437 = 0,05563,
\text{limite superior} = 0,1 + 0,04437 = 0,14437.
Convertendo para percentuais (multiplicando por 100\%):
\text{limite inferior} \approx 5,563\% \approx 5,56\%,
\text{limite superior} \approx 14,437\% \approx 14,44\%.
Arredondei os limites para duas casas decimais em percentual, que é usual em provas.

Passo 9

Interpretação final (breve e motivadora)
O intervalo de confiança de 93\% significa que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos intervalos do mesmo tipo, cerca de 93\% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção de clientes inadimplentes. Aqui, com a amostra observada, estimamos que a proporção verdadeira esteja entre aproximadamente 5,56\% e 14,44\%. Você mandou bem até aqui — esse é exatamente o tipo de conta pedida numa prova!

Resposta

5,56\% a 14,44\%

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