- Um banco quer estimar a percentagem do número de clientes que pagam a fatura do cartão de crédito mensalmente. De uma amostra de 150 clientes, constatou-se que 15 desse estão inadimplentes com o pagamento mensal da fatura do cartão de crédito. Estimando que seja de
a taxa de confiabilidade a percentagem (proporção) de clientes com esta pendência. Usando o teste para a proporcionalidade. Determine o intervalo percentual de confiabilidade neste teste.
Depois usa a tabela normal padronizada.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede o seguinte:
- Dados da amostra:
(tamanho da amostra) e clientes inadimplentes. - Nível de confiança pedido:
. - Pergunta: determinar o intervalo de confiança (percentual) para a proporção de clientes inadimplentes usando o teste/intervalo para proporção e usando a tabela normal padronizada.
Passo 2
Escolha do método (sem resolver ainda): vamos usar o intervalo de confiança aproximado para proporção baseado na normal padrão (aproximação pelo Teorema do Limite Central), cuja forma clássica é
Aqui:
-
é a proporção amostral (estimador pontual), -
é o quantil da normal padrão associado ao nível de confiança, -
é o tamanho da amostra, -
é o erro padrão da proporção.
Vou explicar cada peça em detalhe nos próximos passos para você entender como aplicar isso na prova.
Passo 3
Calcular a proporção amostral
.
A proporção amostral é simplesmente o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra:
Efetuando a divisão:
Em termos percentuais isso equivale a
.
Explicação didática:
é a melhor estimativa pontual da proporção verdadeira
. Aqui observamos
inadimplentes entre
clientes, então na amostra a proporção é
.
Passo 4
Verificar condições para usar a aproximação normal (regra prática).
Regra prática comum: tanto
quanto
devem ser maiores que 5 para a aproximação normal ser razoável.
Calcule:
Como
e
, a condição está satisfeita e podemos usar a fórmula normal sem problema.
Didática curta: isso garante que a distribuição da proporção amostral é aproximadamente normal, então o intervalo baseado em
faz sentido.
Passo 5
Encontrar
usando a tabela normal padronizada.
Nível de confiança
implica
. Como o intervalo é bilateral, cada cauda tem área
.
Procuramos
tal que a área à esquerda é
. Ou seja,
.
Usando a tabela da normal padrão (tabela de probabilidades acumuladas), o valor que corresponde à área
é aproximadamente
Explicação didática: tabelas de normal padrão dão a probabilidade
. Para 93% de confiança, você precisa do ponto simétrico que deixa 3,5% na cauda superior, então procura 0,965 na tabela e lê o
.
Passo 6
Calcular o erro padrão da proporção
.
Primeiro calcule o produto
:
Divida por
:
Agora a raiz quadrada:
Didática: o erro padrão mede a variabilidade da proporção amostral em torno do valor verdadeiro
. É análogo ao desvio padrão da média, mas adaptado para proporções.
Passo 7
Calcular a margem de erro
erro padrão.
Usando
e erro padrão
:
Interpretação: a margem de erro em termos de proporção é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Passo 8
Construir o intervalo de confiança para
e converter para percentuais.
Intervalo em proporção:
Limites:
Convertendo para percentuais (multiplicando por
):
Arredondei os limites para duas casas decimais em percentual, que é usual em provas.
Passo 9
Interpretação final (breve e motivadora)
O intervalo de confiança de
significa que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos intervalos do mesmo tipo, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira proporção de clientes inadimplentes. Aqui, com a amostra observada, estimamos que a proporção verdadeira esteja entre aproximadamente
e
. Você mandou bem até aqui — esse é exatamente o tipo de conta pedida numa prova!