- Um certo produto produzido em série segue uma distribuição de probabilidade com variância igual a 9. Tomando uma amostra de tamanho 100 unidades com caracterização de média igual a 5. Usando um teste de distribuição normal bicaudal. Determinar o intervalo de confiança com uma correlação de confiança de
para a média da distribuição.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o intervalo de confiança de duas caudas com nível de confiança de
para a média da distribuição. As informações fornecidas são:
(variância populacional),
(tamanho da amostra) e
(média amostral).
Passo 2
Vou explicar o que cada símbolo significa e por que posso usar a fórmula clássica:
é a média verdadeira desconhecida que queremos estimar.
é a variância populacional conhecida; aqui
.
é a média da amostra (a estimativa de
), aqui
.
Quando a variância populacional é conhecida e a amostra é razoavelmente grande, a distribuição amostral da média é (aproximadamente) normal. Nesse caso usamos o quantil da normal padrão
para construir o intervalo de confiança bicaudal.
Quando a variância populacional
Passo 3
A fórmula do intervalo de confiança para a média quando
é conhecida é:
onde:
= média amostral;
= quantil da normal padrão que deixa
na cauda superior;
= desvio-padrão populacional;
= tamanho da amostra;
nível de confiança.
Passo 4
Calculo o desvio-padrão populacional a partir da variância:
Agora calculo o erro padrão (standard error), que é
:
Passo 5
Para nível de confiança
temos
e, como é bicaudal,
. O quantil correspondente da normal padrão é
(Isto vem da tabela da normal padrão: a área central de
deixa
em cada cauda, cujo quantil superior é
.)
Passo 6
Calculo a margem de erro (meia largura do intervalo):
Uma forma rápida de multiplicar:
e dividindo por
(porque
é
) dá
Passo 7
Agora construo o intervalo somando e subtraindo a margem de erro à média amostral:
Passo 8
Interpretação (breve): com
de confiança, o verdadeiro valor da média populacional
está dentro do intervalo obtido. Respire fundo — essa é a conclusão prática que você vai responder na prova.