1. Um certo produto produzido em série segue uma distribuição de probabilidade com variância igual a 9. Tomando uma amostra de tamanho 100 unidades com caracterização de média igual a 5. Usando um teste de distribuição normal bicaudal. Determinar o intervalo de confiança com uma correlação de confiança de 95 \% para a média da distribuição.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o intervalo de confiança de duas caudas com nível de confiança de 95\% para a média da distribuição. As informações fornecidas são:
\sigma^2=9 (variância populacional), n=100 (tamanho da amostra) e \bar{x}=5 (média amostral).

Passo 2

Vou explicar o que cada símbolo significa e por que posso usar a fórmula clássica:
\mu é a média verdadeira desconhecida que queremos estimar.
\sigma^2 é a variância populacional conhecida; aqui \sigma^2=9.
\bar{x} é a média da amostra (a estimativa de \mu), aqui \bar{x}=5.
Quando a variância populacional \sigma^2 é conhecida e a amostra é razoavelmente grande, a distribuição amostral da média é (aproximadamente) normal. Nesse caso usamos o quantil da normal padrão z para construir o intervalo de confiança bicaudal.

Passo 3

A fórmula do intervalo de confiança para a média quando \sigma é conhecida é:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde:
\bar{x} = média amostral;
z_{\alpha/2} = quantil da normal padrão que deixa \alpha/2 na cauda superior;
\sigma = desvio-padrão populacional;
n = tamanho da amostra;
\alpha = 1- nível de confiança.

Passo 4

Calculo o desvio-padrão populacional a partir da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{9}=3.
Agora calculo o erro padrão (standard error), que é \sigma/\sqrt{n}:
\mathrm{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{100}}=\frac{3}{10}=0,3.

Passo 5

Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e, como é bicaudal, \alpha/2=0,025. O quantil correspondente da normal padrão é
z_{0,025}=1,96.
(Isto vem da tabela da normal padrão: a área central de 95\% deixa 2{,}5\% em cada cauda, cujo quantil superior é 1{,}96.)

Passo 6

Calculo a margem de erro (meia largura do intervalo):
E = z_{0,025}\cdot \mathrm{SE} = 1{,}96 \times 0{,}3.
Uma forma rápida de multiplicar: 1{,}96\times 3 = 5{,}88 e dividindo por 10 (porque \times 0{,}3 é \times 3/10) dá
E = 0{,}588.

Passo 7

Agora construo o intervalo somando e subtraindo a margem de erro à média amostral:
\text{limite inferior} = \bar{x}-E = 5 - 0{,}588 = 4{,}412,
\text{limite superior} = \bar{x}+E = 5 + 0{,}588 = 5{,}588.

Passo 8

Interpretação (breve): com 95\% de confiança, o verdadeiro valor da média populacional \mu está dentro do intervalo obtido. Respire fundo — essa é a conclusão prática que você vai responder na prova.

Resposta

\left[4{,}412,\;5{,}588\right]

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