Na fabricação de uma peça, uma máquina realiza o trabalho sujeitos ao tempo de variação na fabriação das mesmas. Um engenheiro solicitou que fosse realizadas aferições para ver se a máquina está no padrão indicado pelo fabricante. Registrou-se 12 vezes os resultados em segundos, segudo a tabela a seguir.
\mathrm{t}(\mathrm{s}) 29 33 36 35 36 40 32 37 31 35 30 36
Construa um intervalo de confiança com 90 \% de confiabilidade, para o tempo médio de execução da peça, usando o método da padronização T(student), com aproximação normal. Determine o intervalo de confiança.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se um intervalo de confiança com 90\% de confiança para o tempo médio de execução da peça.
  • O enunciado indica usar a padronização t (Student) com aproximação normal.
  • Foram medidas 12 observações (tempos em segundos). Os dados são:
29,\;33,\;36,\;35,\;36,\;40,\;32,\;37,\;31,\;35,\;30,\;36.
  • Quantidades conhecidas a partir dos dados: n=12 (tamanho da amostra). A resolução seguirá passo a passo para calcular a média amostral, o desvio-padrão amostral, o erro padrão e, por fim, o intervalo de confiança.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):
  • Quando a variância populacional é desconhecida (caso usual), o intervalo de confiança para a média costuma ser construído com a estatística t de Student. A fórmula geral (duas caudas, nível de confiança 1-\alpha) é:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • s é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma);
  • n é o tamanho da amostra;
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • O enunciado pede explicitamente “padronização T (student), com aproximação normal”. Isso significa que usaremos a forma da estatística t (isto é, a fórmula com s/\sqrt{n}), mas para o valor crítico usaremos a aproximação pelo quantil da normal padrão em vez do quantil exato de t. Para um nível de confiança 90\% temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05; o quantil da normal padrão correspondente é z_{0{,}95}\approx 1{,}645. Vou usar esse valor por pedido do enunciado. (Observação educativa: com n=12 o valor exato de t seria t_{0{,}95,11}\approx 1{,}796, que daria um intervalo ligeiramente mais largo; aqui seguimos a aproximação normal.)

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x}:
  • Soma dos dados (peguei os valores da tabela dada):
\sum_{i=1}^{12} x_i = 29+33+36+35+36+40+32+37+31+35+30+36 = 410.
  • Média amostral:
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{410}{12} = 34{,}1666\overline{6}\approx 34{,}1667\\ \text{s}.

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão amostral s (explicando a fórmula):
  • A fórmula do desvio-padrão amostral (estimador da raiz da variância) é
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}.
  • Calculando as somas dos quadrados das diferenças (usei \bar{x}=34{,}1667 e calculei cada (x_i-\bar{x})^2; somei e obtive)
\sum_{i=1}^{12} (x_i-\bar{x})^2 \approx 113{,}708333.
  • Então
s^2 = \frac{113{,}708333}{11} \approx 10{,}337121,
s = \sqrt{10{,}337121}\approx 3{,}2149\\ \text{s}.
(Interpretação: s é uma medida de dispersão dos tempos medidos em torno da média.)

Passo 5

Cálculo do erro padrão da média (SE):
  • O erro padrão da média é
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
  • Com s\approx 3{,}2149 e n=12:
\text{SE}=\frac{3{,}2149}{\sqrt{12}}=\frac{3{,}2149}{3{,}4641}\approx 0{,}9280\\ \text{s}.

Passo 6

Escolha do valor crítico e cálculo da margem de erro:
  • Usando a aproximação normal pedida, o quantil para nível 90\% (duas caudas) é
z_{0{,}95}\approx 1{,}645.
  • A margem de erro (ME) é
\text{ME}=z_{0{,}95}\cdot\text{SE}\approx 1{,}645\cdot 0{,}9280 \approx 1{,}5276\\ \text{s}.

Passo 7

Construção do intervalo de confiança:
  • Aplicando \bar{x}\pm ME:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=34{,}1667-1{,}5276\approx 32{,}6391\\ \text{s},
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=34{,}1667+1{,}5276\approx 35{,}6943\\ \text{s}.
  • Arredondando com uma precisão razoável (uma casa decimal), o intervalo fica (32{,}6\\ \text{s},\;35{,}7\\ \text{s}).

Passo 8

Interpretação rápida e observação final (ânimo!):
  • Resultado: com 90\% de confiança, o tempo médio de execução da peça está entre aproximadamente 32{,}64 s e 35{,}69 s, segundo a metodologia pedida.
  • Observação pedagógica: se em vez de usar a aproximação normal tivéssemos usado o valor exato de t com 11 graus de liberdade ( t_{0{,}95,11}\approx 1{,}796), o intervalo ficaria um pouco mais largo (margem \approx 1{,}667 s), o que é esperado pois t corrige o fato de a amostra ser pequena.

Resposta

\displaystyle (32{,}6391\\ \text{s},\;35{,}6943\\ \text{s})

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