Na fabricação de uma peça, uma máquina realiza o trabalho sujeitos ao tempo de variação na fabriação das mesmas. Um engenheiro solicitou que fosse realizadas aferições para ver se a máquina está no padrão indicado pelo fabricante. Registrou-se 12 vezes os resultados em segundos, segudo a tabela a seguir.
\mathrm{t}(\mathrm{s})
29
33
36
35
36
40
32
37
31
35
30
36
Construa um intervalo de confiança com 90 \% de confiabilidade, para o tempo médio de execução da peça, usando o método da padronização T(student), com aproximação normal. Determine o intervalo de confiança.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
Pede-se um intervalo de confiança com 90\% de confiança para o tempo médio de execução da peça.
O enunciado indica usar a padronização t (Student) com aproximação normal.
Foram medidas 12 observações (tempos em segundos). Os dados são:
Quantidades conhecidas a partir dos dados: n=12 (tamanho da amostra). A resolução seguirá passo a passo para calcular a média amostral, o desvio-padrão amostral, o erro padrão e, por fim, o intervalo de confiança.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):
Quando a variância populacional é desconhecida (caso usual), o intervalo de confiança para a média costuma ser construído com a estatística t de Student. A fórmula geral (duas caudas, nível de confiança 1-\alpha) é:
s é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma);
n é o tamanho da amostra;
t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade.
O enunciado pede explicitamente “padronização T (student), com aproximação normal”. Isso significa que usaremos a forma da estatística t (isto é, a fórmula com s/\sqrt{n}), mas para o valor crítico usaremos a aproximação pelo quantil da normal padrão em vez do quantil exato de t. Para um nível de confiança 90\% temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05; o quantil da normal padrão correspondente é z_{0{,}95}\approx 1{,}645. Vou usar esse valor por pedido do enunciado. (Observação educativa: com n=12 o valor exato de t seria t_{0{,}95,11}\approx 1{,}796, que daria um intervalo ligeiramente mais largo; aqui seguimos a aproximação normal.)
Passo 3
Cálculo da média amostral \bar{x}:
Soma dos dados (peguei os valores da tabela dada):
Arredondando com uma precisão razoável (uma casa decimal), o intervalo fica (32{,}6\\ \text{s},\;35{,}7\\ \text{s}).
Passo 8
Interpretação rápida e observação final (ânimo!):
Resultado: com 90\% de confiança, o tempo médio de execução da peça está entre aproximadamente 32{,}64 s e 35{,}69 s, segundo a metodologia pedida.
Observação pedagógica: se em vez de usar a aproximação normal tivéssemos usado o valor exato de t com 11 graus de liberdade (t_{0{,}95,11}\approx 1{,}796), o intervalo ficaria um pouco mais largo (margem \approx 1{,}667 s), o que é esperado pois t corrige o fato de a amostra ser pequena.