Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além do atendimento convencional. Em um dia sejam X e Y a proporção do custo (dinheiro/tempo) gasto com o serviço personalizado (Y) e com o serviço de caixa convencional (X). Vamos supor que ( X, Y ) têm função densidade de probabilidade conjunta dada por:

As funções densidade de probabilidade marginais de Xe Y são, respectivamente?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem duas variáveis aleatórias X e Y que representam proporções de custo de dois serviços no banco, e a densidade conjunta delas é
f(x,y)= dfrac65,l(x^2 + yr), & 0á
O que a questão pede é: “Quais são as funções densidade marginais de X e de Y?”
Matéria envolvida: probabilidade contínua, mais especificamente como obter densidades marginais a partir de uma densidade conjunta. Para isso, vamos usar o conceito de marginalização, ou seja, integrar a densidade conjunta sobre a outra variável.

Passo 2

Calcular fX(x) ;=;integral0^1 f(x,y),dy =integral0^1 65l(x^2 + yr),dy .
Teoria rápida: a densidade marginal de X, fX(x) = 65l(x^2 + tfrac12r) = 65,x^2 + 610 = 65x^2 + 35, , é obtida integrando a densidade conjunta em relação a y, desde o menor até o maior valor possível de y. Aqui y varia de 0 a 1, então
Vamos integrar passo a passo:
  1. Puxamos a constante pra fora: .
    • .
Somando: .
Então
válido para , e zero caso contrário.

Passo 3

Calcular fY(y) =integral0^165l(x^2 + yr),dx =65integral0^1(x^2 + y),dx .
Mesma ideia: integrar a conjunta em relação a x, de 0 a 1:
fY(y) = 65l(tfrac13 + yr) = 615 + 65,y = 25 + 65y,
Detalhando:
Logo dentro do parênteses fica . Então
para , e zero fora desse intervalo.

Resposta

As densidades marginais são
fX(x)= dfrac65x^2 + dfrac35, & 0áá

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