Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além do atendimento convencional. Em um dia sejam e a proporção do custo (dinheiro/tempo) gasto com o serviço personalizado (Y) e com o serviço de caixa convencional (X). Vamos supor que ( ) têm função densidade de probabilidade conjunta dada por:
As funções densidade de probabilidade marginais de Xe Y são, respectivamente?
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem duas variáveis aleatórias X e Y que representam proporções de custo de dois serviços no banco, e a densidade conjunta delas é
O que a questão pede é: “Quais são as funções densidade marginais de X e de Y?”
Matéria envolvida: probabilidade contínua, mais especificamente como obter densidades marginais a partir de uma densidade conjunta. Para isso, vamos usar o conceito de marginalização, ou seja, integrar a densidade conjunta sobre a outra variável.
Passo 2
Calcular .
Teoria rápida: a densidade marginal de X, , é obtida integrando a densidade conjunta em relação a y, desde o menor até o maior valor possível de y. Aqui y varia de 0 a 1, então
Vamos integrar passo a passo:
Puxamos a constante pra fora: .
.
Somando: .
Então
válido para , e zero caso contrário.
Passo 3
Calcular fY(y) =integral0^165l(x^2 + yr),dx =65integral0^1(x^2 + y),dx .
Mesma ideia: integrar a conjunta em relação a x, de 0 a 1: