Uma empresa tem 5 caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados é a seguinte:
N^O caminhões alugados por dia 0 1 2 3 4 5
Probabilidade de alugar (%) 0,032 0,640 5,120 20,480 40,960 32,768
Calcular:
A média e o desvio padrão do lucro diário, sabendo-se que: valor do aluguel por dia é igual a ; despesa total diária com manutenção é igual a ; despesa total diária com manutenção é igual a (quando o caminhão é alugado no dia) e igual a 2.000,00 (quando o caminhão não é alugado no dia).

Passo 1

Beleza, aqui vai o resumo do que a gente tem:
Nós temos uma frota de 5 caminhões e, todo dia, um certo número N deles é alugado. A tabela dá a probabilidade de cada valor de N (em porcentagem). A gente quer calcular a média e o desvio‐padrão do lucro diário.
Conteúdo: Distribuição de probabilidade discreta, esperança ( E), variância ( Var) e desvio‐padrão ( sigma).
Para resolver, vamos precisar:
  • Converter as porcentagens em probabilidades.
  • Definir a variável lucro X como função de N.
  • Usar as fórmulas de E[X], Var(X) e sigmaX.

Passo 2

Primeiro, convertemos as porcentagens em probabilidades dividindo por 100:
P(N=0)&=0,032%/100=0,00032, P(N=1)&=0,640%/100=0,0064,;dots,; P(N=5)=32,768%/100=0,32768
Explicação rápida: os valores somam 1, que é o total de probabilidade.

Passo 3

Agora definimos o lucro X em função de N.
  • Se um caminhão é alugado, ele gera $4.000 de receita e custa $2.000 de manutenção, ou seja, $2.000 de lucro líquido.
  • Se não é alugado, não há receita e custa $500, ou seja, –$500 de lucro.
    Como há 5 caminhões e 4.000 de receita e custa alugados, sobram 2.000 de lucro líquido** - Se não é alugado, não há receita e custa sem alugar. Então:
500 de lucro** Como há 5 caminhões e

Passo 4

Agora usamos a teoria de variáveis discretas:
  1. Esperança de N:
E[N]=sumn=0^5 n,P(N=n)
Na prática (ou reconhecendo que é uma binomial (5,0,8)), dá
E[N]=4,0
  1. Variância de N:
Var(N)=5cdot0,8cdot0,2=0,8
  1. Como X=2500,(N-1) é uma transformação linear de N, vale
E[X]=2500,(E[N]-1)
e
Var(X)=2500^2,Var(N)
Calculando:
E[X]=2500,(4-1)=7500, Var(X)=2500^2cdot0,8=5,000,000
  1. Desvio‐padrão:
sigmaX=raizVar(X) =raiz5,000,000approx2236,07

Resposta

Média do lucro diário: $ 7.500,00
Desvio‐padrão do lucro diário: $ 2.236,07

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