Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além do atendimento convencional. Em um dia sejam X e Y a proporção do custo (dinheiro/tempo) gasto com o serviço personalizado (Y) e com o serviço de caixa convencional (X). Vamos supor que ( X, Y ) têm função densidade de probabilidade conjunta dada por:

O coeficiente de correlação linear entre X e Y ?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
f(x,y)= dfrac65,(x^2+y),&0á
A tarefa é achar o coeficiente de correlação linear
rhoX,Y=Cov(X,Y)raizVar(X),Var(Y)
Para isso precisamos de:
  1. e ,
  2. ,
  3. e para as variâncias,
  4. montar e finalmente .

Passo 2

Calcular E[X]=integral dupla x,f(x,y),dy,dx . Por definição,
E[X] =65integral0^1!!integral0^1x,(x^2+y),dy,dx =65integral0^1l[x^3+tfracx2r]dx =65l[tfracx^44+tfracx^24r]0^1 =65cdot12 =35
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Passo 3

Calcular E[Y] =65integral0^1!!integral0^1y,(x^2+y),dx,dy =65integral0^1l[tfracy3+y^2r]dy =65l[tfracy^26+tfracy^33r]0^1 =65cdot12 =35 de modo análogo:

Passo 4

Agora E[XY] =65integral0^1!!integral0^1x,y,(x^2+y),dx,dy =65integral0^1l[tfracy4+tfracy^22r]dy =65l[tfracy^28+tfracy^36r]0^1 =65cdot724 =720 :

Passo 5

E[X^2] =65integral0^1!!integral0^1x^2(x^2+y),dy,dx =65integral0^1l[x^4+tfracx^22r]dx =65cdot1130 =1125 e Var(X) = 1125 - l(35r)^2 = 1125-925 = 225 :
Então

Passo 6

E[Y^2] =65integral0^1!!integral0^1y^2(x^2+y),dx,dy =65integral0^1l[tfracy^23+y^3r]dy =65cdot1336 =1330 e Var(Y) =1330-l(35r)^2 =1330-925 =11150 :
Então

Passo 7

Calcular a covariância
Cov(X,Y) =E[XY]-E[X]E[Y] =720-35cdot35 =720-925 =-1100

Passo 8

Finalmente a correlação
[
\rho_{X,Y}
=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X),\mathrm{Var}(Y)}}

\frac{-\tfrac1{100}}{\sqrt{\tfrac{2}{25},\cdot\dfrac{11}{150}}}
=-\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{11}}
;=;
-\frac{\sqrt{33}}{44}.
]

Resposta

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