Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além do atendimento convencional. Em um dia sejam
e
a proporção do custo (dinheiro/tempo) gasto com o serviço personalizado (Y) e com o serviço de caixa convencional (X). Vamos supor que (
) têm função densidade de probabilidade conjunta dada por:
O coeficiente de correlação linear entre X e Y ?
O coeficiente de correlação linear entre X e Y ?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
A tarefa é achar o coeficiente de correlação linear
Para isso precisamos de:
-
e , -
, -
e para as variâncias, - montar
e finalmente .
Passo 2
Calcular
. Por definição,
Logo
Passo 3
Calcular
de modo análogo:
Passo 4
Agora
:
Passo 5
Então
Passo 6
Então
Passo 7
Calcular a covariância
Passo 8
Finalmente a correlação
[
\rho_{X,Y}
=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X),\mathrm{Var}(Y)}}
\frac{-\tfrac1{100}}{\sqrt{\tfrac{2}{25},\cdot\dfrac{11}{150}}}
=-\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{11}}
;=;
-\frac{\sqrt{33}}{44}.
]
=-\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{11}}
;=;
-\frac{\sqrt{33}}{44}.
]