A percentagem de álcool (100x) em certo combustível pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=20 x^3 cdot(1-x), 0 <= x <= 1
Determinar a mediana da distribuição.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte: temos uma variável aleatória f(x) = 20,x^3,(1 - x), 0 <= x <= 1 que representa a porcentagem de álcool (entre 0 e 1) no combustível, com densidade
P(X <= m) = 0,5
O que a gente quer encontrar é a mediana dessa distribuição – ou seja, o valor tal que
Conteúdo: PDF, CDF e definição de mediana. Para isso a gente vai precisar integrar a PDF para achar a CDF e depois resolver a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como achamos a função de distribuição acumulada (CDF), que é
F(x) = integral0^x f(t),dt
Aqui integral (t^3 - t^4),dt = t^44 - t^55 .
Então vamos integrar termo a termo:
F(x) = 20l(x^44 - x^55r) = 5,x^4 ;-; 4,x^5
Multiplicando por 20, dá
Conferindo a derivada:
, certo.

Passo 3

Agora, pela definição de mediana, a gente impõe
F(m) = 0,5 Longrightarrow 5,m^4 - 4,m^5 = 0,5
Isso é uma equação quíntica em 5m^4 - 4m^5 = 0,5 Long<=ftrightarrow m^4,(5 - 4m) = 0,5 . Vamos rearrumar:
m approx 0,687
Não tem solução fechada fácil, então a gente faz um chute refinado (método numérico simples). Testando alguns valores:
  • (muito baixo)
  • (já passou de 0,5)
  • Entre e a gente fica bem próximo de 0,5
Refinando, chega-se em torno de

Resposta

A mediana da distribuição é aproximadamente
boxedm approx 0,687

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