A percentagem de álcool (100x) em certo combustível pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
Determinar a mediana da distribuição.
Determinar a mediana da distribuição.
Passo 1
Beleza, então o exercício diz o seguinte: temos uma variável aleatória
que representa a porcentagem de álcool (entre 0 e 1) no combustível, com densidade
O que a gente quer encontrar é a mediana dessa distribuição – ou seja, o valor
tal que
Conteúdo: PDF, CDF e definição de mediana. Para isso a gente vai precisar integrar a PDF para achar a CDF e depois resolver a equação
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como achamos a função de distribuição acumulada (CDF), que é
Aqui
.
Então vamos integrar termo a termo:
Então vamos integrar termo a termo:
Multiplicando por 20, dá
Conferindo a derivada:
, certo.
Passo 3
Agora, pela definição de mediana, a gente impõe
Isso é uma equação quíntica em
. Vamos rearrumar:
Não tem solução fechada fácil, então a gente faz um chute refinado (método numérico simples). Testando alguns valores:
-
dá (muito baixo) -
dá (já passou de 0,5) - Entre
e a gente fica bem próximo de 0,5
Refinando, chega-se em torno de
Resposta
A mediana da distribuição é aproximadamente