Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além do atendimento convencional. Em um dia sejam X e Y a proporção do custo (dinheiro/tempo) gasto com o serviço personalizado (Y) e com o serviço de caixa convencional (X). Vamos supor que ( X, Y ) têm função densidade de probabilidade conjunta dada por:

Expectância e Variância e Covariância das variáveis envolvidas?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis contínuas X e Y cuja densidade conjunta é
f(x,y)= dfrac65,(x^2+y),&0á
O conteúdo é de variáveis aleatórias contínuas: a gente vai precisar
  • tirar as densidades marginais (integrar a densidade conjunta);
  • calcular esperança E[X]=integral dupla x,f(x,y),dxdy, E[X^2]=integral dupla x^2,f(x,y),dxdy, , Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2, Cov(X,Y)=E[XY]-E[X],E[Y] , variância , ;
  • calcular covariância .
    Para isso, usamos as definições:

Passo 2

Calcular as marginais:

Passo 3

Esperanças:
E[X]=integral0^1 x fX(x),dx =15!integral0^1(6x^3+3x),dx =15l(tfrac64+tfrac32r) =35
E[Y]=integral0^1 y fY(y),dy =15!integral0^1(2y+6y^2),dy =15l(tfrac22+tfrac63r) =35

Passo 4

Segundo momento e variâncias:
E[X^2] =integral0^1 x^2 fX(x),dx =15!integral0^1(6x^4+3x^2),dx =15l(tfrac65+1r) =0.44,
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 =0.44-l(tfrac35r)^2 =0.44-0.36 =0.08
E[Y^2] =integral0^1 y^2 fY(y),dy =15!integral0^1(2y^2+6y^3),dy =15l(tfrac23+tfrac64r) =1330,
Var(Y)=E[Y^2]-(E[Y])^2 =1330-l(tfrac35r)^2 =1330-925 =11150approx0.0733

Passo 5

Covariância:
E[XY] =integral dupla0^1 xy,f(x,y),dxdy =65!integral dupla0^1(x^3y+xy^2),dxdy =65l(tfrac18+tfrac16r) =720
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y] =720-35cdot35 =720-925 =-1100=-0.01

Resposta

E[X]=3/5, E[Y]=3/5, Var(X)=0.08, Var(Y)=11/150, Cov(X,Y)=−1/100.

Exercícios relacionados