A função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por
F(x)=\left\{\begin{array}{rc} 0, & \text { se } x<0 \\\ \left(3 x^{2}-x^{3}\right) / 2, & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ 1, & \text { se } x \geq 1 \end{array}\right.
Calcule P(0 \leq X \leq 1 / 4 \mid X \leq 1 / 2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade condicional
P(0 \leq X \leq 1/4 \mid X \leq 1/2).
As informações dadas são a função de distribuição acumulada F(x)\): \[F(x)=\begin{cases} 0, & \text{se } x<0,\\[4pt] \displaystyle\frac{3x^{2}-x^{3}}{2}, & \text{se } 0\le x<1,\\[6pt] 1, & \text{se } x\ge 1. \end{cases}
Ou seja: a distribuição tem suporte em [0,1]\] e para qualquer \(x em [0,1) usamos a fórmula \displaystyle F(x)=\frac{3x^{2}-x^{3}}{2}.]

Passo 2

Lembra da fórmula de probabilidade condicional? Para dois eventos A e B temos
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0. Aqui definimos
A=\{0\le X\le 1/4\},\qquad B=\{X\le 1/2\}.
Como [0,1/4]\subseteq(-\infty,1/2], temos A\cap B=A. Logo
P(0\le X\le 1/4\mid X\le 1/2)=\frac{P(0\le X\le 1/4)}{P(X\le 1/2)}.

Passo 3

Como F é a função de distribuição acumulada (CDF), para quaisquer a<b vale
P(a<X\le b)=F(b)-F(a).
No caso de intervalos que começam em 0, como P(0\le X\le a), podemos usar P(0\le X\le a)=F(a)-F(0^-). Aqui F(0)=0 (dado), então
P(0\le X\le a)=F(a).
Portanto o numerador será F(1/4) e o denominador será F(1/2).

Passo 4

Calcule F(1/4) usando a fórmula de F para 0\le x<1:
F(1/4)=\frac{3(1/4)^{2}-(1/4)^{3}}{2}.
Agora fazemos as contas passo a passo:
(1/4)^{2}=\frac{1}{16},\qquad (1/4)^{3}=\frac{1}{64}.
Substituindo,
F(1/4)=\frac{3\cdot\frac{1}{16}-\frac{1}{64}}{2}=\frac{\frac{3}{16}-\frac{1}{64}}{2}.
Colocando denominador comum 64:
\frac{3}{16}=\frac{12}{64}\quad\Rightarrow\quad \frac{12}{64}-\frac{1}{64}=\frac{11}{64}.
Dividindo por 2
F(1/4)=\frac{11}{64}\cdot\frac{1}{2}=\frac{11}{128}.

Passo 5

Calcule F(1/2):
F(1/2)=\frac{3(1/2)^{2}-(1/2)^{3}}{2}.
Compute:
(1/2)^{2}=\frac{1}{4},\qquad (1/2)^{3}=\frac{1}{8}.
Substituindo,
F(1/2)=\frac{3\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{8}}{2}=\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{8}}{2}.
Colocando denominador comum 8:
\frac{3}{4}=\frac{6}{8}\quad\Rightarrow\quad \frac{6}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}.
Dividindo por 2
F(1/2)=\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{16}.

Passo 6

Agora a probabilidade condicional é
\frac{F(1/4)}{F(1/2)}=\frac{\dfrac{11}{128}}{\dfrac{5}{16}}=\dfrac{11}{128}\cdot\dfrac{16}{5}.
Simplificando 16/128=1/8 obtemos
\dfrac{11}{128}\cdot\dfrac{16}{5}=\dfrac{11}{8\cdot5}=\dfrac{11}{40}.
Como verificação rápida, \dfrac{11}{40}=0{,}275, o que é coerente (probabilidade entre 0 e 1).

Resposta

\displaystyle \frac{11}{40}

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