Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha:
Exatamente dez chamadas;
Exatamente dez chamadas;
Passo 1
O enunciado diz que o número de chamadas numa central telefônica, em um minuto, segue uma distribuição de Poisson com média de oito chamadas por minuto. A pergunta é: qual a probabilidade de que, num minuto, ocorram exatamente dez chamadas?
Informações dadas: (média de chamadas por minuto). O que se pede:
.
Informações dadas:
Passo 2
Vamos recordar a definição e a fórmula da distribuição de Poisson, passo a passo e de forma bem didática. Seja
o número de eventos (aqui, chamadas) em um intervalo fixo; se
tem distribuição de Poisson com parâmetro
, escrevemos
. A fórmula que dá a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos é:
O que significa cada símbolo?
-
é a média (esperança) de eventos no intervalo considerado — aqui . -
é o número específico de eventos cujo valor queremos a probabilidade — aqui . -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). -
é o fatorial de , isto é .
Esta fórmula vem da modelagem de ocorrências raras independentes em intervalos fixos. Nada de bicho de sete cabeças: plugamos
e
e calculamos.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema com
e
:
Essa é a expressão exata. Agora precisamos calcular esse número. Direto assim envolve potências grandes e fatoriais, então vamos escolher um jeito prático de calcular sem se perder em contas gigantes.
Passo 4
Uma maneira prática (e que cai bem em prova sem calculadora) é usar a relação recursiva entre probabilidades vizinhas da Poisson:
Essa relação é fácil de deduzir: divide-se a expressão de
por
usando a fórmula da Poisson e simplifica-se. A vantagem é que começamos por
(fácil de lembrar) e vamos subindo até
multiplicando por fatores relativamente simples, evitando computar
e
diretamente. Vamos calcular assim.
Passo 5
Calculemos passo a passo, começando por
Usaremos a aproximação
. A partir daí:
Observe que em cada passo apenas multiplicamos pelo fator
, que é simples de calcular. Se estiver fazendo à mão, dá para manter 5–6 casas decimais para ficar seguro; o valor final aqui está com precisão suficiente.]
Passo 6
Interpretação: a probabilidade de exatamente dez chamadas em um minuto, quando a média é oito chamadas por minuto, é aproximadamente
, isto é, cerca de
. Não esquece: é razoável no contexto pois 10 está perto da média 8, então a probabilidade não é nem muito pequena nem muito grande.