Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha:
Exatamente dez chamadas;

Passo 1

O enunciado diz que o número de chamadas numa central telefônica, em um minuto, segue uma distribuição de Poisson com média de oito chamadas por minuto. A pergunta é: qual a probabilidade de que, num minuto, ocorram exatamente dez chamadas?
Informações dadas: \lambda=8 (média de chamadas por minuto). O que se pede: P(\text{exatamente 10 chamadas}).

Passo 2

Vamos recordar a definição e a fórmula da distribuição de Poisson, passo a passo e de forma bem didática. Seja X o número de eventos (aqui, chamadas) em um intervalo fixo; se X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda, escrevemos X\sim\text{Poisson}(\lambda). A fórmula que dá a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
O que significa cada símbolo?
  • \lambda é a média (esperança) de eventos no intervalo considerado — aqui \lambda=8.
  • k é o número específico de eventos cujo valor queremos a probabilidade — aqui k=10.
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).
  • k! é o fatorial de k, isto é k!=1\cdot2\cdot3\cdots k.
Esta fórmula vem da modelagem de ocorrências raras independentes em intervalos fixos. Nada de bicho de sete cabeças: plugamos \lambda e k e calculamos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema com \lambda=8 e k=10:
P(X=10)=e^{-8}\frac{8^{10}}{10!}.
Essa é a expressão exata. Agora precisamos calcular esse número. Direto assim envolve potências grandes e fatoriais, então vamos escolher um jeito prático de calcular sem se perder em contas gigantes.

Passo 4

Uma maneira prática (e que cai bem em prova sem calculadora) é usar a relação recursiva entre probabilidades vizinhas da Poisson:
P(X=k+1)=P(X=k)\cdot\frac{\lambda}{k+1}.
Essa relação é fácil de deduzir: divide-se a expressão de P(X=k+1) por P(X=k) usando a fórmula da Poisson e simplifica-se. A vantagem é que começamos por P(X=0)=e^{-\lambda} (fácil de lembrar) e vamos subindo até k=10 multiplicando por fatores relativamente simples, evitando computar 8^{10} e 10! diretamente. Vamos calcular assim.

Passo 5

Calculemos passo a passo, começando por
P(X=0)=e^{-\lambda}=e^{-8}.
Usaremos a aproximação e^{-8}\approx 0{,}00033546262790251185. A partir daí:
\begin{aligned} P(X=1)&=P(X=0)\cdot\frac{8}{1}=e^{-8}\cdot 8\approx 0{,}002683701023220095,\\[4pt] P(X=2)&=P(X=1)\cdot\frac{8}{2}=P(X=1)\cdot 4\approx 0{,}01073480409288038,\\[4pt] P(X=3)&=P(X=2)\cdot\frac{8}{3}\approx 0{,}02862614424768101,\\[4pt] P(X=4)&=P(X=3)\cdot\frac{8}{4}=P(X=3)\cdot 2\approx 0{,}05725228849536202,\\[4pt] P(X=5)&=P(X=4)\cdot\frac{8}{5}\approx 0{,}09160366159257923,\\[4pt] P(X=6)&=P(X=5)\cdot\frac{8}{6}=P(X=5)\cdot\frac{4}{3}\approx 0{,}12213821545677231,\\[4pt] P(X=7)&=P(X=6)\cdot\frac{8}{7}\approx 0{,}13958766823217460,\\[4pt] P(X=8)&=P(X=7)\cdot\frac{8}{8}=P(X=7)\approx 0{,}13958766823217460,\\[4pt] P(X=9)&=P(X=8)\cdot\frac{8}{9}\approx 0{,}12407881620475473,\\[4pt] P(X=10)&=P(X=9)\cdot\frac{8}{10}=P(X=9)\cdot 0{,}8\approx 0{,}09926305296380378. \end{aligned}
Observe que em cada passo apenas multiplicamos pelo fator \dfrac{8}{k+1}, que é simples de calcular. Se estiver fazendo à mão, dá para manter 5–6 casas decimais para ficar seguro; o valor final aqui está com precisão suficiente.]

Passo 6

Interpretação: a probabilidade de exatamente dez chamadas em um minuto, quando a média é oito chamadas por minuto, é aproximadamente 0{,}0993, isto é, cerca de 9{,}93\%. Não esquece: é razoável no contexto pois 10 está perto da média 8, então a probabilidade não é nem muito pequena nem muito grande.

Resposta

0,09926305296380378

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