3 - Um banco de sangue necessita sangue do tipo O negativo. Suponha que a probabilidade de uma pessoa ter este tipo de sangue seja 0,10 . Doadores permanentes chegam ao hemocentro para fazer sua doação rotineira. Calcule as probabilidades de que o primeiro doador com sangue do tipo O negativo seja:
(a) o primeiro a chegar;

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
  • A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter sangue do tipo O negativo é p=0,10.
  • Doadores chegam um a um, de forma que cada chegada é uma tentativa independente (ou seja, o fato de um doador ter ou não sangue O negativo não afeta as probabilidades das chegadas seguintes).
    O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que o primeiro doador com sangue do tipo O negativo seja o primeiro a chegar (ou seja, que o primeiro doador já seja do tipo O negativo).

Passo 2

Vamos modelar o processo com uma sequência de tentativas independentes onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: “sucesso” (o doador é O negativo) com probabilidade p, ou “falha” (o doador não é O negativo) com probabilidade 1-p. Esse tipo de tentativa é chamado de ensaio de Bernoulli.
Queremos a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente na tentativa n. Para isso é preciso que as primeiras n-1 tentativas sejam falhas e que a n-ésima seja sucesso. Como as tentativas são independentes, a probabilidade dessa sequência ocorre multiplicando as probabilidades:
P(\text{primeiro sucesso em }n) = (1-p)^{n-1}\,p.
Essa fórmula é a distribuição geométrica (forma "começando em n=1"): ela aparece sempre que se busca o número de ensaios até o primeiro sucesso, com ensaios independentes e probabilidade constante p.
Explicando cada termo:
  • p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa ( p=0,10 aqui).
  • (1-p) é a probabilidade de falha em uma única tentativa.
  • (1-p)^{n-1} é a probabilidade de obter n-1 falhas seguidas.
  • Multiplicando por p garantimos que a tentativa n seja o primeiro sucesso.

Passo 3

No item pedido, queremos que o primeiro doador com sangue O negativo seja o primeiro a chegar. Isso corresponde a n=1. Aplicando a fórmula da distribuição geométrica com n=1:
P(\text{primeiro sucesso em }1) = (1-p)^{1-1}\,p = (1-p)^{0}\,p.

Passo 4

Como (1-p)^{0}=1, a expressão fica simplesmente
P(\text{primeiro doador é O negativo}) = p.é
Substituindo p=0,10:
P = 0,10.

Passo 5

Interpretação prática: há 10\% de chance de que o primeiro doador que chega já seja do tipo O negativo. Um exemplo adicional rápido para fixar a ideia: se quiséssemos a probabilidade de que o primeiro O negativo apareça no segundo doador ( n=2), usaríamos (1-p)\,p = 0,90\times0,10 = 0,09 (ou 9\%). Isso mostra como a fórmula funciona na prática.

Resposta

0,10

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