3 - Um banco de sangue necessita sangue do tipo O negativo. Suponha que a probabilidade de uma pessoa ter este tipo de sangue seja 0,10 . Doadores permanentes chegam ao hemocentro para fazer sua doação rotineira. Calcule as probabilidades de que o primeiro doador com sangue do tipo O negativo seja:
(a) o primeiro a chegar;
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
- A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter sangue do tipo O negativo é
. - Doadores chegam um a um, de forma que cada chegada é uma tentativa independente (ou seja, o fato de um doador ter ou não sangue O negativo não afeta as probabilidades das chegadas seguintes).
O que o problema pede: - Calcular a probabilidade de que o primeiro doador com sangue do tipo O negativo seja o primeiro a chegar (ou seja, que o primeiro doador já seja do tipo O negativo).
Passo 2
Vamos modelar o processo com uma sequência de tentativas independentes onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: “sucesso” (o doador é O negativo) com probabilidade
, ou “falha” (o doador não é O negativo) com probabilidade
. Esse tipo de tentativa é chamado de ensaio de Bernoulli.
Queremos a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer exatamente na tentativa
. Para isso é preciso que as primeiras
tentativas sejam falhas e que a
-ésima seja sucesso. Como as tentativas são independentes, a probabilidade dessa sequência ocorre multiplicando as probabilidades:
Essa fórmula é a distribuição geométrica (forma "começando em
"): ela aparece sempre que se busca o número de ensaios até o primeiro sucesso, com ensaios independentes e probabilidade constante
.
Explicando cada termo:
-
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa ( aqui). -
é a probabilidade de falha em uma única tentativa. -
é a probabilidade de obter falhas seguidas. - Multiplicando por
garantimos que a tentativa seja o primeiro sucesso.
Passo 3
No item pedido, queremos que o primeiro doador com sangue O negativo seja o primeiro a chegar. Isso corresponde a
. Aplicando a fórmula da distribuição geométrica com
:
Passo 4
Como
, a expressão fica simplesmente
Substituindo
:
Passo 5
Interpretação prática: há
de chance de que o primeiro doador que chega já seja do tipo O negativo. Um exemplo adicional rápido para fixar a ideia: se quiséssemos a probabilidade de que o primeiro O negativo apareça no segundo doador (
), usaríamos
(ou
). Isso mostra como a fórmula funciona na prática.