2- O fio de uma máquina têxtil rompe-se em média 1 vez a cada 4 horas de funcionamento dessa máquina. Calcule a probabilidade de:
b) em 8 horas de funcionamento o fio se romper menos de 2 vezes.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: o fio rompe-se, em média, 1 vez a cada 4 horas de funcionamento.
- Informação implícita: queremos a probabilidade considerando um intervalo contínuo de tempo de 8 horas.
- Pergunta: qual a probabilidade de que, em 8 horas de funcionamento, o fio se rompa menos de 2 vezes? (ou seja, 0 ou 1 vez).
Passo 2
Escolhendo o modelo adequado (motivo e cálculo do parâmetro médio)
- Quando eventos raros ocorrem de forma independente e com uma taxa média constante no tempo (como rupturas de fio), é natural modelar o número de ocorrências em um intervalo de tempo por uma distribuição de Poisson. Vou usar esse modelo aqui.
- Na distribuição de Poisson, o parâmetro
é a média (e também a variância) do número de eventos no intervalo considerado. A média escala linearmente com o tempo: se a taxa é eventos por hora, então . - A taxa dada é 1 ruptura a cada 4 horas, ou seja
(rupturas por hora). Em 8 horas, o valor esperado é
Passo 3
Fórmula da distribuição de Poisson (explicando cada símbolo)
- Se
segue uma distribuição de Poisson com média , a probabilidade de ocorrer exatamente eventos é
Aqui:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente rupturas em 8 horas. -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). -
é a média (aqui ). -
é o fatorial de (por exemplo, , ).
Passo 4
Calcular
passo a passo
- Usando
e :
Passo 5
Calcular
passo a passo
- Usando
e :
Passo 6
Somar as probabilidades para “menos de 2” (0 ou 1)
- A probabilidade pedida é
Passo 7
Aproximação numérica e interpretação
- Podemos aproximar numericamente usando
. Então
- Arredondando para quatro casas decimais fica aproximadamente
. Isso significa que há cerca de de chance de ocorrer menos de 2 rupturas em 8 horas.