2- O fio de uma máquina têxtil rompe-se em média 1 vez a cada 4 horas de funcionamento dessa máquina. Calcule a probabilidade de:
b) em 8 horas de funcionamento o fio se romper menos de 2 vezes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: o fio rompe-se, em média, 1 vez a cada 4 horas de funcionamento.
  • Informação implícita: queremos a probabilidade considerando um intervalo contínuo de tempo de 8 horas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, em 8 horas de funcionamento, o fio se rompa menos de 2 vezes? (ou seja, 0 ou 1 vez).

Passo 2

Escolhendo o modelo adequado (motivo e cálculo do parâmetro médio)
  • Quando eventos raros ocorrem de forma independente e com uma taxa média constante no tempo (como rupturas de fio), é natural modelar o número de ocorrências em um intervalo de tempo por uma distribuição de Poisson. Vou usar esse modelo aqui.
  • Na distribuição de Poisson, o parâmetro \mu é a média (e também a variância) do número de eventos no intervalo considerado. A média escala linearmente com o tempo: se a taxa é \lambda eventos por hora, então \mu=\lambda\times(\text{tempo}).
  • A taxa dada é 1 ruptura a cada 4 horas, ou seja \lambda=\dfrac{1}{4} (rupturas por hora). Em 8 horas, o valor esperado é
\mu=\lambda\cdot 8=\frac{1}{4}\cdot 8=2.

Passo 3

Fórmula da distribuição de Poisson (explicando cada símbolo)
  • Se X segue uma distribuição de Poisson com média \mu, a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é
P(X=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!}.
Aqui:
  • P(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k rupturas em 8 horas.
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).
  • \mu é a média (aqui \mu=2).
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 0!=1, 1!=1).

Passo 4

Calcular P(X=0) passo a passo
  • Usando \mu=2 e k=0:
P(X=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}\cdot\frac{1}{1}=e^{-2}.

Passo 5

Calcular P(X=1) passo a passo
  • Usando \mu=2 e k=1:
P(X=1)=e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=e^{-2}\cdot\frac{2}{1}=2e^{-2}.

Passo 6

Somar as probabilidades para “menos de 2” (0 ou 1)
  • A probabilidade pedida é
P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=e^{-2}+2e^{-2}=3e^{-2}.

Passo 7

Aproximação numérica e interpretação
  • Podemos aproximar numericamente usando e^{-2}\approx0,135335283. Então
3e^{-2}\approx 3\cdot 0,135335283\approx 0,40600585.
  • Arredondando para quatro casas decimais fica aproximadamente 0,4060. Isso significa que há cerca de 40{,}60\% de chance de ocorrer menos de 2 rupturas em 8 horas.

Resposta

\,3e^{-2}\approx0,4060

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