2- O fio de uma máquina têxtil rompe-se em média 1 vez a cada 4 horas de funcionamento dessa máquina. Calcule a probabilidade de:
a) numa hora o fio se romper menos de 2 vezes;

Passo 1

O enunciado informa que o fio rompe em média 1 vez a cada 4 horas de funcionamento. Pede-se a probabilidade de que, em 1 hora, o fio se rompa menos de 2 vezes (ou seja, ocorra 0 ou 1 ruptura). Dados importantes extraídos do enunciado:
  • Média de ocorrências em 4 horas: 1.
  • Intervalo de interesse: 1 hora.
  • Evento pedido: número de rupturas em 1 hora seja menor que 2 (isto é, 0 ou 1).

Passo 2

Escolhendo o modelo probabilístico: quando contamos o número de ocorrências de um evento raro em intervalos de tempo fixos, com uma taxa média conhecida e ocorrências independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. Não é preciso usar cálculo de probabilidades condicionais complexas — a Poisson já dá diretamente a probabilidade de ter exatamente k ocorrências num intervalo.
Primeiro vamos obter a média (parâmetro) para o intervalo de 1 hora. A média dada é 1 ruptura em 4 horas, logo a média por hora é
\lambda=\frac{1}{4}=0,25.

Passo 3

Apresentando a fórmula da distribuição de Poisson e explicando as variáveis:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.
Aqui:
  • X é a variável aleatória “número de rupturas em 1 hora”.
  • \lambda é a média (valor esperado) de X no intervalo considerado; já calculamos \lambda=0,25.
  • k é o número de ocorrências que queremos: k=0,1,2,\dots.
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 1!=1, 0!=1).

Passo 4

O problema pede P(X<2)=P(X=0)+P(X=1). Calculamos cada termo usando a fórmula da Poisson.
Cálculo de P(X=0):
P(X=0)=\frac{\lambda^{0}e^{-\lambda}}{0!}=e^{-\lambda}.
Cálculo de P(X=1):
P(X=1)=\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\lambda e^{-\lambda}.
Somando:
P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=(1+\lambda)e^{-\lambda}.
Substituindo \lambda=0,25:
P(X<2)=\left(1+0,25\right)e^{-0,25}=1{,}25\,e^{-0,25}.

Passo 5

Avaliação numérica (passo a passo, sem pular contas):
  • Primeiro calcular e^{-0,25}. Conhecimento útil: e^{-0,25}\approx 0{,}77880078.
  • Multiplicar por 1{,}25:
P(X<2)=1{,}25\times 0{,}77880078\approx 0{,}97350098.
Arredondando para uma precisão prática (duas casas decimais ou quatro, conforme necessidade), temos aproximadamente 0{,}9735, ou seja cerca de 97{,}35\%.

Passo 6

Interpretação e dica prática para a prova: como a média numa hora é pequena ( \lambda=0,25), é muito provável ter zero ou uma ruptura nessa hora — por isso a probabilidade alta (~97,35%). Na prova, aplique a mesma sequência: identificar \lambda para o intervalo pedido, usar a fórmula da Poisson, calcular os termos desejados e somá-los se for um evento do tipo “menor que” ou “maior que”.

Resposta

\left(1+\tfrac{1}{4}\right)e^{-1/4}
\approx 0,9735

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