2- O fio de uma máquina têxtil rompe-se em média 1 vez a cada 4 horas de funcionamento dessa máquina. Calcule a probabilidade de:
a) numa hora o fio se romper menos de 2 vezes;
Passo 1
O enunciado informa que o fio rompe em média 1 vez a cada 4 horas de funcionamento. Pede-se a probabilidade de que, em 1 hora, o fio se rompa menos de 2 vezes (ou seja, ocorra 0 ou 1 ruptura). Dados importantes extraídos do enunciado:
- Média de ocorrências em 4 horas:
. - Intervalo de interesse:
hora. - Evento pedido: número de rupturas em 1 hora seja menor que
(isto é, ou ).
Passo 2
Escolhendo o modelo probabilístico: quando contamos o número de ocorrências de um evento raro em intervalos de tempo fixos, com uma taxa média conhecida e ocorrências independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. Não é preciso usar cálculo de probabilidades condicionais complexas — a Poisson já dá diretamente a probabilidade de ter exatamente
ocorrências num intervalo.
Primeiro vamos obter a média (parâmetro) para o intervalo de 1 hora. A média dada é
ruptura em
horas, logo a média por hora é
Passo 3
Apresentando a fórmula da distribuição de Poisson e explicando as variáveis:
Aqui:
-
é a variável aleatória “número de rupturas em 1 hora”. -
é a média (valor esperado) de no intervalo considerado; já calculamos . -
é o número de ocorrências que queremos: . -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). -
é o fatorial de (por exemplo, , ).
Passo 4
O problema pede
. Calculamos cada termo usando a fórmula da Poisson.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Somando:
Substituindo
:
Passo 5
Avaliação numérica (passo a passo, sem pular contas):
- Primeiro calcular
. Conhecimento útil: . - Multiplicar por
:
Arredondando para uma precisão prática (duas casas decimais ou quatro, conforme necessidade), temos aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Passo 6
Interpretação e dica prática para a prova: como a média numa hora é pequena (
), é muito provável ter zero ou uma ruptura nessa hora — por isso a probabilidade alta (~97,35%). Na prova, aplique a mesma sequência: identificar
para o intervalo pedido, usar a fórmula da Poisson, calcular os termos desejados e somá-los se for um evento do tipo “menor que” ou “maior que”.