3 - Um banco de sangue necessita sangue do tipo O negativo. Suponha que a probabilidade de uma pessoa ter este tipo de sangue seja 0,10 . Doadores permanentes chegam ao hemocentro para fazer sua doação rotineira. Calcule as probabilidades de que o primeiro doador com sangue do tipo O negativo seja:
(b) o segundo;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A probabilidade de uma pessoa ter sangue do tipo O negativo é 0,10.
  • Doadores chegam um a um ao hemocentro (cada chegada é um evento).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que o primeiro doador com sangue do tipo O negativo seja o segundo doador que chega?

Passo 2

Modelagem e definição das variáveis (explicando tudo com calma).
  • Vou chamar de p a probabilidade de sucesso em cada tentativa, isto é, de um doador ser O negativo. Assim,
p = 0,10.
  • A probabilidade de um doador NÃO ser O negativo chamo de q. Como só há duas possibilidades (ser O negativo ou não), vale
q = 1 - p.
  • Aqui assumimos que cada doador é independente dos outros (a chegada de um doador não altera a chance dos próximos) e que a probabilidade p é a mesma para cada doador. Essas são hipóteses comuns em problemas desse tipo.
  • O evento "o primeiro sucesso ocorre exatamente na tentativa k" significa: falhas nas k-1 primeiras tentativas e sucesso na k-ésima. A probabilidade desse evento, pela regra do produto para eventos independentes, é
\text{Prob(1º sucesso em }k)=q^{k-1}\,p.º
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • q^{k-1} representa a probabilidade de ocorrerem k-1 falhas seguidas (multiplicando q por si mesmo k-1 vezes).
  • Multiplica-se por p porque, depois das k-1 falhas, é necessário ter sucesso na tentativa k.
  • A independência garante que podemos multiplicar as probabilidades de cada tentativa.

Passo 3

Aplicando ao caso pedido ( k=2).
  • Primeiro calcule q:
q = 1 - p = 1 - 0,10 = 0,90.
  • Usando a fórmula para k=2:
\text{Prob(1º sucesso em }2)=q^{2-1}\,p = q\,p.º
  • Substituindo q e p:
q\,p = 0,90 \cdot 0,10 = \frac{9}{10}\cdot\frac{1}{10} = \frac{9}{100} = 0,09.

Passo 4

Interpretação e pequeno reforço didático.
  • O resultado 0,09 significa que há 9\% de chance de o primeiro doador com sangue O negativo ser exatamente o segundo a chegar.
  • Intuição: para isso acontecer, o primeiro doador precisa NÃO ter O negativo ( 90\%) e o segundo precisa ter ( 10\%). Como são eventos independentes, multiplicamos 0,90 por 0,10.

Passo 5

Exemplo extra rápido para fixar (sem calcular com a calculadora):
  • Qual a probabilidade do primeiro O negativo aparecer já no primeiro doador? É simplesmente p = 0,10 (ou 10\%).
  • Qual a probabilidade do primeiro O negativo aparecer no terceiro doador? Seria q^{2}p = 0,90^{2}\cdot0,10. Isso mostra como a fórmula generaliza.

Resposta

0,09

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