Uma banda deseja gravar um novo CD. A gravadora tem sérias dúvidas sobre a receptividade do material e acredita que há uma probabilidade de 0,25 do CD ser um grande sucesso. A gravação e distribuição do CD custam e, caso seja um sucesso, a gravadora lucrará e, caso seja um sucesso, a gravadora lucrará ; se for um fracasso terá apenas uma pilha de CDs encalhados. Caso o CD não seja gravado, não haverá nem lucro nem prejuízo.
Vale a pena gravar o CD? Qual o valor esperado?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado diz e o que precisamos.
Enunciado em poucas palavras: a gravadora pensa em gastar $20 000 para gravar e distribuir um CD. Se for um sucesso (probabilidade 0,25), ela lucra $120 000; se não, dá ruim e ela perde o investimento e não ganha nada. Se não gravar, fica no zero a zero.
Conteúdo da matéria: probabilidade simples e cálculo de valor esperado (ou esperança matemática).
O que vamos precisar:
  1. A probabilidade de sucesso (p = 0,25) e de fracasso (1–p = 0,75).
  2. Os resultados financeiros em cada caso (lucro ou prejuízo).
  3. A fórmula do valor esperado:
20 000 para gravar e distribuir um CD Se for um sucesso (probabilidade 0,25), ela lucra

Passo 2

Antes de meter a mão nos números, vamos entender a teoria.
Valor esperado é uma média ponderada: a gente pega cada cenário possível, multiplica o que acontece nele pela chance dele e soma tudo. Serve pra ver se, em média, a gente sai no lucro ou no prejuízo. Nada de garantias em um único CD, mas na média de muitas decisões iguais.

Passo 3

Agora identificamos os resultados líquidos em cada cenário:
  1. Se for sucesso, ela gasta $20 000 e ganha $120 000, então o lucro líquido é
20 000 e ganha
  1. Se for fracasso, ela investe $20 000 e não recebe nada de volta, então o prejuízo é
120,000 - 20,000 = 100,000

Passo 4

Aplicando a fórmula do valor esperado:
E = p times (lucro no sucesso) ;+;(1 - p)times(prejuízo no fracasso) í
Substituindo:
E = 0,25 times 100,000 ;+; 0,75 times (-20,000)

Passo 5

Bora calcular passo a passo:
  1. E = 25,000 - 15,000 = 10,000
  2. Somando:

Resposta

Vale a pena gravar o CD, porque o valor esperado é positivo:
boxedE = $10,000
Ou seja, em média, a gravadora ganha $10 000 com essa jogada.

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