Uma banda deseja gravar um novo CD. A gravadora tem sérias dúvidas sobre a receptividade do material e acredita que há uma probabilidade de 0,25 do CD ser um grande sucesso. A gravação e distribuição do CD custam
e, caso seja um sucesso, a gravadora lucrará
; se for um fracasso terá apenas uma pilha de CDs encalhados. Caso o CD não seja gravado, não haverá nem lucro nem prejuízo.
Vale a pena gravar o CD? Qual o valor esperado?
Vale a pena gravar o CD? Qual o valor esperado?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado diz e o que precisamos.
Enunciado em poucas palavras: a gravadora pensa em gastar $20 000 para gravar e distribuir um CD. Se for um sucesso (probabilidade 0,25), ela lucra $120 000; se não, dá ruim e ela perde o investimento e não ganha nada. Se não gravar, fica no zero a zero.
Conteúdo da matéria: probabilidade simples e cálculo de valor esperado (ou esperança matemática).
O que vamos precisar:
Enunciado em poucas palavras: a gravadora pensa em gastar $20 000 para gravar e distribuir um CD. Se for um sucesso (probabilidade 0,25), ela lucra $120 000; se não, dá ruim e ela perde o investimento e não ganha nada. Se não gravar, fica no zero a zero.
Conteúdo da matéria: probabilidade simples e cálculo de valor esperado (ou esperança matemática).
O que vamos precisar:
- A probabilidade de sucesso (p = 0,25) e de fracasso (1–p = 0,75).
- Os resultados financeiros em cada caso (lucro ou prejuízo).
- A fórmula do valor esperado:
Passo 2
Antes de meter a mão nos números, vamos entender a teoria.
Valor esperado é uma média ponderada: a gente pega cada cenário possível, multiplica o que acontece nele pela chance dele e soma tudo. Serve pra ver se, em média, a gente sai no lucro ou no prejuízo. Nada de garantias em um único CD, mas na média de muitas decisões iguais.
Valor esperado é uma média ponderada: a gente pega cada cenário possível, multiplica o que acontece nele pela chance dele e soma tudo. Serve pra ver se, em média, a gente sai no lucro ou no prejuízo. Nada de garantias em um único CD, mas na média de muitas decisões iguais.
Passo 3
Agora identificamos os resultados líquidos em cada cenário:
- Se for sucesso, ela gasta $20 000 e ganha $120 000, então o lucro líquido é
- Se for fracasso, ela investe $20 000 e não recebe nada de volta, então o prejuízo é
Passo 4
Aplicando a fórmula do valor esperado:
Substituindo:
Passo 5
Bora calcular passo a passo:
-
-
- Somando:
Resposta
Vale a pena gravar o CD, porque o valor esperado é positivo:
Ou seja, em média, a gravadora ganha $10 000 com essa jogada.