Uma banda deseja gravar um novo CD. A gravadora tem sérias dúvidas sobre a receptividade do material e acredita que há uma probabilidade de 0,25 do CD ser um grande sucesso. A gravação e distribuição do CD custam e, caso seja um sucesso, a gravadora lucrará e, caso seja um sucesso, a gravadora lucrará ; se for um fracasso terá apenas uma pilha de CDs encalhados. Caso o CD não seja gravado, não haverá nem lucro nem prejuízo.
a gravadora pode encomendar uma pesquisa de opinião pública a um instituto que, com 120.000 de probabilidade prevê um sucesso (se o CD realmente for um sucesso) e, com 60 % de probabilidade prevê um fracasso (se o CD realmente fracassar). Quanto valem os serviços do instituto?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é decidir se vale a pena gravar o CD ou não, e quanto vale pagar pela pesquisa do instituto. Isso é um problema clássico de decisão usando valor esperado e valor de informação parcial (já que a pesquisa não é perfeita). Vamos precisar de:
  1. Probabilidade a priori de sucesso (0,25) e de fracasso (0,75).
  2. Lucro se for sucesso: $120 000 menos custo $20 000 → +$100 000.
  3. Prejuízo se fracassar: só custo de $20 000 → –$20 000.
  4. Características da pesquisa:
    • P(prevê “sucesso” | sucesso) = 0,6
    • P(prevê “fracasso” | fracasso) = 0,8

Passo 2

Primeiro vamos ver o que rola sem pedir pesquisa.
Valor esperado de gravar:
EV = 0,25 times (+100,000) ;+; 0,75 times (-20,000) = 25,000 ;-; 15,000 = +10,000
Se não gravar, EV = 0. Logo a escolha sem pesquisa é gravar e ter EV = $10 000.

Passo 3

Agora incorporando a pesquisa, precisamos das probabilidades condicionais inversas (teorema de Bayes).
Chamemos S = “sucesso de verdade”, F = “fracasso de verdade”, X = “prevê sucesso”, Y = “prevê fracasso”.
Sabemos:
P(X|S)=0,6, P(Y|S)=0,4, P(X|F)=0,2, P(Y|F)=0,8
A priori: P(X)=P(X|S)P(S)+P(X|F)P(F) =0,6cdot0,25 + 0,2cdot0,75 =0,15+0,15=0,30, , P(Y)=1 - P(X) = 0,70 .
Então
P(S|X) = P(X|S)P(S)P(X) = 0,6cdot0,250,30 = 0,5,
P(S|Y) = P(Y|S)P(S)P(Y) = 0,4cdot0,250,70 approx 0,1429
E pelas fórmulas de Bayes:

Passo 4

Com essas probabilidades condicionais, calculamos o que fazemos em cada caso:
Se a pesquisa “prevê sucesso” (já que aí EVX = 0,5,(+100,000) + 0,5,(-20,000) = 50,000 - 10,000 = +40,000 ), o EV de gravar é
EVY = 0,1429,(+100,000) + 0,8571,(-20,000) approx 14,286 - 17,142 = -2,856
Como +40 000 > 0, a gente grava.
Se a pesquisa “prevê fracasso” (aí ), o EV de gravar é
Como dá negativo, se a pesquisa diz “fracasso” não gravamos e ficamos com EV = 0.

Passo 5

Agora o valor esperado com a pesquisa (antes de saber o resultado) é:
EVcom pesquisa = P(X),EVX ;+; P(Y),EV!Y ;(mas aí não grava) = 0,30cdot40,000 + 0,70cdot0 = 12,000 íã
Então, comparando com EV sem pesquisa (que era 10 000), a pesquisa adiciona
12,000 - 10,000 = 2,000

Resposta

O serviço do instituto vale até $2 000.

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