Uma banda deseja gravar um novo CD. A gravadora tem sérias dúvidas sobre a receptividade do material e acredita que há uma probabilidade de 0,25 do CD ser um grande sucesso. A gravação e distribuição do CD custam
e, caso seja um sucesso, a gravadora lucrará
; se for um fracasso terá apenas uma pilha de CDs encalhados. Caso o CD não seja gravado, não haverá nem lucro nem prejuízo.
a gravadora pode encomendar uma pesquisa de opinião pública a um instituto que, com
de probabilidade prevê um sucesso (se o CD realmente for um sucesso) e, com
de probabilidade prevê um fracasso (se o CD realmente fracassar). Quanto valem os serviços do instituto?
a gravadora pode encomendar uma pesquisa de opinião pública a um instituto que, com
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é decidir se vale a pena gravar o CD ou não, e quanto vale pagar pela pesquisa do instituto. Isso é um problema clássico de decisão usando valor esperado e valor de informação parcial (já que a pesquisa não é perfeita). Vamos precisar de:
- Probabilidade a priori de sucesso (0,25) e de fracasso (0,75).
- Lucro se for sucesso: $120 000 menos custo $20 000 → +$100 000.
- Prejuízo se fracassar: só custo de $20 000 → –$20 000.
- Características da pesquisa:
- P(prevê “sucesso” | sucesso) = 0,6
- P(prevê “fracasso” | fracasso) = 0,8
Passo 2
Primeiro vamos ver o que rola sem pedir pesquisa.
Valor esperado de gravar:
Valor esperado de gravar:
Se não gravar, EV = 0. Logo a escolha sem pesquisa é gravar e ter EV = $10 000.
Passo 3
Agora incorporando a pesquisa, precisamos das probabilidades condicionais inversas (teorema de Bayes).
Chamemos S = “sucesso de verdade”, F = “fracasso de verdade”, X = “prevê sucesso”, Y = “prevê fracasso”.
Sabemos:
Chamemos S = “sucesso de verdade”, F = “fracasso de verdade”, X = “prevê sucesso”, Y = “prevê fracasso”.
Sabemos:
A priori:
,
.
Então
Então
E pelas fórmulas de Bayes:
Passo 4
Com essas probabilidades condicionais, calculamos o que fazemos em cada caso:
Se a pesquisa “prevê sucesso” (já que aí ), o EV de gravar é
Se a pesquisa “prevê sucesso” (já que aí
Como +40 000 > 0, a gente grava.
Se a pesquisa “prevê fracasso” (aí ), o EV de gravar é
Se a pesquisa “prevê fracasso” (aí
Como dá negativo, se a pesquisa diz “fracasso” não gravamos e ficamos com EV = 0.
Passo 5
Agora o valor esperado com a pesquisa (antes de saber o resultado) é:
Então, comparando com EV sem pesquisa (que era 10 000), a pesquisa adiciona
Resposta
O serviço do instituto vale até $2 000.